探索网格作图与圆的结合

摘要：以湖北省武汉市2023年全市二月调考为例，结合学生所学知识通过案例循序渐进地探究，探索网格作图与圆结合的解题思路.立足于课本，主动从本质上去理解与掌握.

关键词：网格作图；圆；圆心;等弦;弦中点

近三年的武汉市元月调考试题在以往考查线段的平行、垂直、中点、长度或对称性的基础上增加了圆的相关内容，能够更加多元化地考查学生对于几何知识的应用能力，考查了学生的直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养.本文旨在通过湖北省武汉市2023年全市二月调考第21题来探索如何帮助学生探究问题的本质，引导学生加强对解题规律和方法的总结与提炼.

1 试题呈现

试题 如图1、图2是由小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.

（1）在图1中，A，B，C三点是格点，画经过这三点的圆的圆心O，并在该圆上画点D，使AD＝BC；

（2）在图2中，A，E，F三点是格点，⊙I经过点A.先过点F画AE的平行线交⊙I于M，N两点，再画弦MN的中点G.

2 思路探究

试题以网格与圆为背景，考查对圆的有关性质的理解和掌握.同时也通过线段的平行、垂直、中点、长度或对称性进一步考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养.

在第（1）问中有两个问题：一是如何在网格中寻找到圆的圆心？寻找的核心是对于圆的相关概念以及性质的理解.二是如何在网格中画出等长线段？主要考查学生对于弧、弦、圆心角以及圆周角之间的关系和转换的掌握情况.

在第（2）问中也有两个问题，一是过格点作平行线，二是画出弦的中点，主要考查学生对垂径定理以及圆的轴对称性的理解.

3 解法探究

3.1 圆心O的解法探究

3.1.1 从课本出发，揭开问题实质

课本对于圆心有两个主要结论：①圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径R）；②经过圆心的弦叫做直径.因此可以通过下面两个思路得到圆心：①找到直径，取得直径的中点即为圆心O；②两条直径的交点即为圆心O.寻找圆心的实质就是找直径，而通过课本可以发现直径具有以下两个性质：①90°的圆周角所对的弦是直径；②圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.因此可以建立思路：①通过顶点在格点的90°圆周角来找到直径;②可以利用圆的轴对称性找到对称轴也就是直径.

3.1.2 回归网格，探究问题解法

网格内画圆的直径的一般方法，如图3，因为网格中的每个小正方形的内角是90°，所以通过圆经过网格的格点，利用“90°的圆周角所对的弦是直径”来画出直径.

如图4，利用圆的轴对称性，通过平行弦所夹的弧与弦是成轴对称的两个图形画直径.由于成轴对称的两个图形，它们的两对对称点交叉相连的交点在对称轴上，因此可以借助这个交点画出对称轴也就是直径.

思路1：圆心是直径的中点，在确定直径后，可以如图5和图6利用平行线分线段成比例求得直径的中点;也可以如图7和图8利用三角形的三条中线交于一点求得直径的中点.

思路2：两条直径的交点即为圆心O，如图9～11，只需要将图3、图4作直径的两种方法任意组合起来就可以得到圆心.

3.2 圆上作等弦的解法探究

3.2.1 从课本出发，揭开问题实质

课本对于弧、弦、圆心角以及圆周角之间的关系有以下两个描述：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.因此可以推得在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等.

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.因此由垂径定理可以得到等弧，进而也可以得到等弦.

3.2.2 回归网格，探究问题解法

思路1：相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等.

如图12，作CD∥AB，由∠ABD=∠CDB，得AD=BC.如图13，作BD∥AC，由∠ABD=CAB，得AD=BC.作平行线在这里可能会出现问题，

通常作一条间隔为“横a，纵b”的线段的平行线，只需要过点再作一条间隔为“横a，纵b”的线段即可.线段AC是“横4，纵3”，所以平行线BD也应该是“横4，纵3”，但是此时会出现网格不够的情况，所以此时可以适当将线段缩小变为“横2，纵1.5”即可.

思路2：由垂径定理可以得到等弧，进而也可以得到等弦.如图14，通过BD∥AC，得AD=BC之后，过点D作AC的垂线交圆于点D′.

3.3 弦中点的解法探究

3.3.1 从课本出发，揭开问题实质

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.求弦的中点即是求垂直于弦的直径.

3.3.2 回归网格，探究问题解法

如图15，线段AE“横5，纵2”，过点F作“横5，纵2”的线段即与AE平行，其所在直线交圆I于点M，N，MN∥AE.

平行弦所夹的弧与弦是成轴对称的两个图形，由于成轴对称的两个图形，它们的两对对称点交叉相连的交点在对称轴上.如图16，连接两对对称点，交叉相连的交点与圆心I所在的直线为MN的垂直平分线，其与MN的交点G即为MN的中点.

4 教学反思与建议

4.1 立足课本，改进教学方式

题海战术不可取，教学中应当抛弃“知识+训练”的教学模式，立足课程标准和课本，以学生为主体，引导学生体会知识形成的过程.摒弃以往机械模仿的单一上课模式，多以活动为载体，着重对学生数学思维能力与动手操作能力的培养.多引导学生积极用以往的学习经验来获得新的学习经验，并能结合已有的知识经验利用不同的搭配去解决一系列问题，尤其是生活中的实际问题可以作为重点考查背景.

4.2 重视变式探究

中考试题中，很多可以在教材上找到原型.我们很难猜测以后会有哪些课本习题会用在试卷上，以及试卷上的题目又会有怎样的变化与创新.但是万变不离其宗，课本的一些最基本的题型以及其中所蕴含的数学思维不会发生改变，所以在平时的教学活动中应当重视培养学生的学习迁移能力.在平时的上课与训练中，可以多改变课本例题与练习的条件，甚至可以改变题目的背景;在平时的活动中可以多鼓励学生自己命题，甚至可以通过同学之间、小组之间互相命题来提高学生在陌生情境中解决问题能的力.