题型技巧归纳 培养应用意识

初中数学中，一元二次方程占据重要地位.学生需全面把握其内容，包括一元二次方程的概念、一般表达式、四种求解方法、根的判别准则、根与系数之间的关系及实际应用等.有关一元二次方程的应用问题，我们对热点题型结合实例进行详细剖析，并提炼出针对性的解题技巧，期望不仅有助于学生形成系统的解题思路，还能帮助学生在实践中加深对知识点的理解和记忆.

1 利用方程研究数字问题

运用方程式探究与数字相关的问题时，需要紧密结合题目给出的数字规律、新定义等元素，列举出相关的多位数.此外，还需深入理解多位数，将各个数位上的数字各自乘它们所对应的位权值，再将所得结果累加，最后进行计算.

例1 （2024·重庆渝中初三检测）如果一个四位数m满足各数位上的数字都不为0，将它的千位上的数字与百位上的数字之积记为S1，十位上的数字与个位上的数字之和记为S2，记G（m）=S1S2，若G（m）为整数，则称这个四位数为“公正数”.例如：因为G（3 612）=3×61+2=6，6是整数，故3 612是“公正数”;因为G（2 722）=2×72+2=72，72不是整数，所以2 722不是“公正数”.请问：最大的“公正数”是.若自然数m和n都是“公正数”，其中m=7 801+11x（2≤x≤5，且x为整数），n的千位上的数字比百位上的数字大1，十位上的数字比个位上的数字大2，且G（n）=2，规定：K=nG（m）－4，则K的最大值是.

解析：根据题意可知，因为9×9=81，8+1=9，819=9，所以9 981是“公正数”，则最大的“公正数”是9 981.

因为m=7 801+11x（2≤x≤5且x为整数），所以m可为7 823，7 834，7 845，7 856.

又因为m是“公正数”，所以m=7 834，G（m）=7×83+4=8.

因为n的千位上的数字比百位上的数字大1，十位上的数字比个位上的数字大2，所以

设n的百位上的数字为a，个位数上的数字为b，则千位上的数字为a+1，十位上的数字为b+2，其中1≤a≤8，1≤b≤7且a，b为整数，

则n=1 000（a+1）+100a+10（b+2）+b.

因为G（n）=2，

所以a（a+1）2b+2=2，即a（a+1）=4（b+1）.

当b=2时，a（a+1）=12，解得a=3（负根已经舍去）；

当b=4时，a（a+1）=20，解得a=4（负根已经舍去）；其他情况不满足题意.

①当b=2，a=3时，

n=4 342，

K=n8－4=4 3424=2 1712.

②当b=4，a=4时，

n=5 464，

K=n8－4=5 4644=1 366.

所以K的值为1 366.

点评：本题考查数字的规律、解一元二次方程等知识，求解过程中尤其要注意正确理解“公正数”的定义及数字的设法，方可顺利求解.

2 利用方程研究销售问题

在商品销售的情境中，我们经常需要根据题目的具体要求，构建出解决问题的方程，并利用其求解.例如，通过明确销售量、销售价格与销售利润之间的数量关系，可以列出相应的函数表达式，这种关系通常呈现为二次函数的形态.因此，在解答这类问题时，关键在于准确地根据已知条件列出函数关系式或方程.

例2 （2024·云南昆明初三联考）某批发商出售一种成本价为10元/件的商品，市场调查发现，该商品每周的销售量y（单位：件）与销售价x（单位：元/件）满足一次函数y=－10x+400.这种商品每周的销售利润为w元.

（1）求w与x的函数关系式；

（2）商家为了盘活资金，减少库存，要确保这种商品每周的销售量不少于180件，若这种商品每周的销售利润为2 000元，则该商品每周的销售量是多少？

解析：（1）根据题意，可得

w=（x－10）y=（x－10）（－10x+400）=－10x2+500x－4 000.

（2）若这种商品每周的销售利润为2 000元，即w=2 000，则－10x2+500x－4 000=2 000，

解得x1=20，x2=30.由y=－10x+400≥180，解得x≤22.所以x=20.当x=20时，y=－10×20+400=200.

综上所述，该商品每周的销售量是200件.

点评：本题主要考查二次函数、一元二次方程及一元一次不等式的应用，求解过程中要注意根据数量关系列出函数关系式及根据等量关系列出方程.

3 利用方程研究图形面积问题

在求解有关图形面积的问题时，通常会借助图形面积的相关公式来构建方程.例如，矩形的面积可以通过“长乘宽”来计算，平行四边形的面积则是“底乘高”等，然后根据题目的具体要求，找到与图形相关的性质，并可能需要构建二次函数的解析式来描述这些性质.在此过程中，特别要注意自变量的取值范围，确保它们符合实际情况.

例3 （2024·天津滨海新初三期中）如图1，某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42 m.栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：m2）.

（1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（写x的取值范围）.

（2）矩形实验田的面积S能达到750 m2吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由.

（3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？

解析：（1）因为2x+y=80，所以y=－2x+80.

S=xy=x（－2x+80）=－2x2+80x.

因为

y≤42，所以－2x+80≤42，所以x≥19，

所以19≤xlt;40.

（2）当S=750时，－2x2+80x=750，

解得x=25或x=15（舍去）.所以当x=25 m时，矩形实验田的面积S能达到750 m2.

（3）S=－2x2+80x=－2（x－20）2+800，所以当x=20 m时，S有最大值800 m2.

点评：本题考查矩形的性质、二次函数的实际应用，求解过程中尤其要注意自变量的取值范围.

4 利用方程研究动态问题

在探讨动态几何问题时，首先要依据动点的运动方向和轨迹来确定相关线段的具体长度.随后，利用这些线段之间的关联来构建方程，且必须密切关注动点移动后所生成的新图形，并识别出新图形中涉及的三角形特性，借助判定定理和性质定理，以及引入一元二次方程来描述这些关系.最后求解一元二次方程，得出问题的答案.

例4 （2024·河北石家庄初三联考）如图2所示，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=30 cm，BC=25 cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2 cm/s，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1 cm/s.

（1）几秒后△PCQ与△ABC相似？

（2）设△CPQ的面积为S1，△ABC的面积为S2，在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S1∶S2=2∶5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

解析：（1）设y秒后△PCQ与△ABC相似，则CP=2y，BQ=y，所以CQ=25－y.

当△PCQ∽△ACB时，则有CPCA=CQCB，即2y30=25－y25，

解得y=758.

同理当△PCQ∽△BCA时，可得y=12517.

综上所述，758s或12517s后△PCQ与△ABC相似.

（2）设CP=2t，BQ=t，则CQ=25－t.△CPQ的面积S1=12×CQ×CP=12×2t×（25－t）=－t2+25t，

△ABC的面积S2＝12×AC×BC＝12×30×25=375.

由题意得5（－t2+25t）=375×2，解得，t1=10，t2=15.

综上所述，运动10 s或15 s时，S1∶S2=2∶5.

点评：本题考查相似三角形的判定和性质及一元二次方程的应用，求解过程中要根据相似三角形的有关性质，合理建立一元二次方程关系式，然后分类讨论.

5 归纳总结

上述列举了常见的有关一元二次方程的应用题型，剖析了这类问题采用的解题思路与基本策略，目的在于帮助学生熟练掌握相关的解题方法，并能够灵活运用一元二次方程解决一系列实际问题，从而不断提高数学核心素养.