基于“归纳推理、抽象概括”的运算法则探究

摘要：课程标准指出“对于一些简单问题，可以通过特殊结果推断一般结论，形成合乎逻辑的思维习惯;可以通过对现实世界中数量关系的抽象，形成数学法则，并能用数学符号予以表达；可以从具体的问题解决中形成数学的方法与策略”.“有理数的减法”的课时教学旨在运算法则的形成过程中发展归纳推理能力和抽象能力;在运用运算法则的过程中发展数学推理运算能力.

关键词：有理数减法；教学研究

运算是数系扩展的核心.前两节课学生已学有理数加法法则，本节课探讨其逆运算——减法.引入负数后，有理数具有相反数特性，教师可借此将减法转化为加法，即“减去一个数等于加上此数的相反数”，使加减法统一于加法框架.这是教学的重难点.本设计以数轴平移为出发点，通过几何直观推理得出减法转加法结论，突破难点，帮助学生深刻理解有理数加减运算规则，感受数学归纳与数学化思维魅力.此过程还能提升学生几何直观感、逻辑推理能力和规则抽象认知，夯实减法运算法则的运用，增强数学运算能力.

1 教学目标与重难点

教学目标：

（1）能准确理解有理数的减法法则，发展几何直观观念以及推理归纳观念，培养数学抽象能力.

（2）能有效应用有理数减法法则进行数学运算，进一步发展数学运算能力.

（3）经历运算法则的探究与解题过程，体会运算法则探究的基本方法和主要思想.

教学重点：理解有理数减法转化为有理数加法运算定律的合理性推理，得出有理数减法法则，并进行有理数减法运算.

教学难点：抽象理解有理数的减法运算法则，形成运算法则探究的一般方法，掌握基本运算技巧.

2 教学过程设计

2.1 提出问题

问题1 通过对有理数加法运算定律的学习，我们还需要进一步研究哪方面的运算定律？请思考这种运算都具备哪些应用价值？

师生活动：引导学生回想在小学阶段接触到的数字运算过程，通过类比分析自行得出有理数减法的概念，并结合生活实例说明减法的重要性，比如温度的升降变化等方面.

教学说明：类比小学阶段的数字运算定律，帮助学生在逻辑上衔接有理数运算的学习过程，突出数系扩展的必要性.结合实际生活情景，指导学生感受数学既来源于学科内部的发展需求，也应回归到现实生活的实际需求之中，明确本节课研究的重要主题——有理数的减法运算.

2.2 规划思路

问题2 如何正确探究出有理数的减法定律？

追问：加法法则是如何经过探究而得出的？

师生活动：学生回顾有理数加法法则的研究过程，从已知到未知、从具体到一般，类比总结适用于减法法则的研究步骤（见图1）.教师引导学生结合之前的探究经验，整体规划有理数减法法则的研究路径.

教学说明：通过对加法法则探究过程的回顾，引导学生规划研究有理数减法的步骤，突出在有理数运算教学中强调的数学思想统一性以及思维方法是可以普遍适用于其他数学领域的.

2.3 探究法则

问题3 如果是两个有理数相减的情况，哪些是我们已经掌握的运算规律，哪些是需要进一步学习的？

师生活动：学生回忆在非负数范围内，大数减去小数的规律，结合已有加法法则的探究经验，明确新的研究方向——小数减去大数，以及涉及负数的减法，包括正数减负数、负数减正数、负数减负数、负数减零和零减负数.

教学说明：分层推进，明确减法研究的起点和难点，为后续探究提供清晰的逻辑框架.

追问1：5-3=？你是怎样想的？

师生活动：学生依据减法定义，结合加法逆运算的特点，推导出5-3=2（即5=3+2）.

教师引导学生结合数轴，利用点的平移演示运算过程：动点从原点出发向右平移5个单位长度，再向左平移3个单位长度，结果到达“+2”的位置；同时引导学生用加法表示该过程，即5+（-3）=2（见图2）.

追问2：由此可以发现什么？

师生活动：学生通过比较，发现减法可以转化为加法，即a-b=a+（-b）.

追问3：类比5-3，如何探究3-5=？结论是否类似？

师生活动：学生通过数轴平移法和加法逆运算推导，得出3-5=3+（-5）（见图3）.

追问4：其他例子如5-（-3），-5-3，-3-（-5）等，是否也能得出类似结论？

师生活动：学生逐步类比探究，通过迁移学习总结其余算式的规律.教师关注学生的独立思考能力，并及时辅导有困难的学生.最终得出5-（-3）=5+（+3），-5-3=（-5）+（-3），-3-（-5）=-3+（+5），-3-0=-3+0，0-（-3）=0+（+3），0-3=0+（-3），如图4～图9.

教学说明：通过具体例子探究抽象规律，将减法运算归结为加法运算，利用数轴直观帮助学生理解运算逻辑，发展几何直观能力.

问题4 观察推导出的算式，有什么共同规律？

师生活动：师生共同总结，用文字语言和符号语言归纳出有理数减法法则，即a-b=a+（-b）.

追问：在上述探究过程中，体现了哪些数学思想和方法？

师生活动：师生总结减法法则的推导经历了从具体到一般、从特殊到普遍的过程，充分体现了归纳推理、抽象概括的研究方法（见图10）.

教学说明：通过对探究过程的总结，帮助学生体会数学归纳与数学化思想的重要性.将减法运算与加法运算的关系借助数轴上点的平移来直观呈现，提升学生的逻辑推理能力和抽象思维能力，同时感受数系扩充后运算规律的一致性和美感.

2.4 应用法则

例题 计算：

（1）（－3）－（－5）;

（2）0－7;

（3）7.2－（－4.8）;（4）－312－514.

问题5 请思考有理数减法运算中，第一步操作是怎样的？你的每一个步骤都有哪些理论依据？为什么要这样运算？在完成有理数减法运算时，要注意哪些事项？

师生活动：在学生完成例题第（1）小题后，教师提出问题5，得到如图11所示的结论.

教学说明：明确算理，引导学生在运算中熟练使用运算法则，并将其逐步内化为数学推理运算的能力.

练习 计算：

（1）比2℃低8℃的温度；

（2）比－3℃低6℃的温度.

师生活动：分析题意，列式解答.

教学说明：在运用有理数的运算表示和解决实际问题的过程中发展数量关系抽象能力，建立数的运算的模型观念.

2.5 概括提升

（1）自行总结概括有理数减法法则的主要内容.

（2）有理数减法运算一般的运算步骤都有哪些？每一步运算的理论依据又有哪些？这些步骤与计算方法的由来是什么？

（3）在探究有理数运算法则的过程中，我们经历了怎样的数学思维过程，又体验到了哪些数学思维方法？

师生活动：回顾本节课的知识点、数学思想、数学方法，形成知识框图（如图12）.

教学说明：通过问题引导学生从知识联系、思想方法等方面进行归纳总结，意在让学生对本节课的学习有更清晰、更系统的认识，形成数学的整体性、思维的系统性.

2.6 迁移应用

问题6 在数轴上，点A，B分别表示数a，b.那么你能发现点A，B之间的距离与数a，b之间究竟存在着什么样的关系吗？

追问1：回顾加法运算法则，那么在减法法则探究环节之中，法则规律的探究方法到底是什么？有哪些典型方法呢？

师生活动：通过回顾运算法则后发现，整体过程包括列举、观察、归纳、概括.

追问2：怎么列举特例？

师生活动：在有理数范围内列举，两点表示的数包括的类别有正数和正数、正数和0、正数和负数、负数和负数、负数和0.

追问3：请同学们自己完成问题6的探究，汇报你是怎么思考的，你的结论是什么？

师生活动：学生自主独立完成探究，汇报补充，形成结论.

教学说明：对数学法则即规律展开探究的核心就是归纳推理与抽象概括，引申到日常教学中，教师有必要将其变为实际操作进行示范，可以促进学生通过模仿的形式来探究有理数减法法则.通过数轴上两点距离的研究，学生可以将理论应用于实践.在此过程中，学生自主完成举例、观察、归纳和概括的全过程，逐步掌握数学法则的探究步骤和思路.同时，这一过程也进一步培养了学生的逻辑推理能力、抽象概括能力以及对数学思想方法的深刻理解.

3 总结反思

在教育改革背景下，激发学生深度学习、提升数学核心素养成为关键课题.郑毓信提出“深度教学”是数学教育的内在要求与时代高标，教学应引导学生从具体方法迈向一般性思维策略，提升思维品质，助力学生掌握学习方法，培养自主学习能力，让其成为学习主体.章建跃强调以“大观念”为核心设计教学，“大观念”是数学内容、思想与方法的凝练概括，涵盖多方面本质总结，是学习数学的核心方法论.

本节课遵循单元整体教学理念，聚焦数学逻辑连贯性与方法普遍性，在“大观念”的引领下，按照如下教学策略组织教学：设置合理情境引出研究对象；引导学生运用类比、抽象方法提出问题，明确起点与路径；研究结束后深度反思汇总，夯实大观念；借助大观念指导，自主探索类似内容.旨在营造深度学习环境，培养学生核心素养.

具体而言，本节课就是以“运算法则的探究方法”为思维策略，采用“长程两段式”策略，分“教结构”与“用结构”两阶段.在“教结构”阶段，通过探究式教学让学生体验知识内在结构，形成学习方法；“用结构”阶段，学生运用所学方法主动探究类似知识.有理数加法教学是“教结构”的过程，减法是“用结构”迁移.通过小结、归纳等方法，学生初步理解概括法则探究的一般方法，学会用相同思路解决问题，实现大观念构建.学生利用大观念自主探究“数轴上两点间距离”，运用分类列举、归纳推理等方法，推导距离公式，提升推理与抽象思维能力，深刻体会从具体到一般的数学方法.

参考文献：

[1]郑毓信.“数学深度教学”的理论与实践[J].数学教育学报，2019（5）：24-32.

[2]吴增生.单元整体教学中的若干重要问题及其思考[J].数学通报，2021（9）：20-26.

[3]叶澜，吴亚萍.“新基础教育”数学教学改革指导纲要[M].桂林：广西师范大学出版社，2009.

[4]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.

[5]侯伟.构筑大观念下初中数学项目式学习与教学的有效衔接[J].数学之友，2024（23）：81-84.