至简设计数学活动，扎实发展学生素养

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《2022年版课标》）指出数学教学要以核心素养为导向，提出合适的问题和组织有效的教学活动.因此数学课堂应该是教师通过设计简单有效的数学活动，引导学生在预设的问题情境中探究，最后得出至简的数学结论或模式，达到培养学生数学素养的目的.人教版教材每一章都设置有“数学活动”，其目的就是为了拓宽学生的知识面，提高学生的动手能力和积累活动经验，最终达到渗透数学核心素养的目的.以一节数学活动课“探究四点共圆的条件”为例，阐述在数学课堂中以问题为导向设计教学活动，探究数学的本质，发展学生素养的实践与思考.

1 教学过程

1.1 对比旧知，提出问题

问题1 经过不在同一直线的三个点A，B，C可以作圆吗？能作几个圆？

问题2 图1中有六个图形，能否分别过每个图形的四个顶点作一个圆？试一试.

师生活动1：从三点作圆迁移到四点作圆，在学生说出结果后，教师通过多媒体展示结果.

设计意图：从学生已有的知识经验出发，获得探究问题的方向，从三点共圆迁移到四点共圆，充分利用学生知识的最近发展区，提高课堂教学的有效性，渗透从特殊到一般的转化思想，让学生初步接受用数学的眼光认识现实世界的角度.

1.2 合理引导，分析问题

问题3 怎么判断这四点是共圆或不共圆呢？

师生活动2：教师提出问题并引导，学生独立思考后回答.

设计意图：引导学生从不同四边形的特征包括边、角、对角线入手，寻找这些图形的共性因素.学生主要经历观察、作图、测量、猜想、对比、验证等一系列活动，感受分析问题的方法，最终发现了一个结论即对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上.

1.3 证明猜想，验证问题

问题4 上述结论仅仅是一个猜想，要想使之成为定理，作为今后判断四点共圆的依据，还需要证明，那如何证明呢？

师生活动3：教师展示问题，师生共同写出已知、求证.

已知：在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°.

求证：过点A，B，C，D可作一个圆.

问题5 我们可以作出过不在同一条直线上三点的圆，不能确定与第四个点是否共圆，但其中的三点是可以保证共圆的，再考虑余下的点是否在过三点的圆上，如何证明呢？

师生活动4：师生共同探讨第四个点可能在圆内或圆外的情况，利用圆内接四边形对角互补进行证明.

证明：

过A，B，C三点作圆O，假设点D在圆O外（图2），

设AD与圆O交于点E，连接CE.

∴∠B＋∠AEC＝180°.

∵∠B＋∠D＝180°，

∴∠AEC＝∠D.

∵∠AEC是△CED的外角，

∴∠AEC＞∠D，出现矛盾，假设不成立.

因此点D不在过A，B，C三点的圆外.

问题6 假设第四点在其他三点确定的圆内（图3），是否也可以推出矛盾？

师生活动5：类比第四点在圆外的情况，完成证明.最后给出完整的证明.

设计意图：从学生已有的知识经验出发，明确问题解决的过程，通过思考、证明，促使学生感受数学的严谨性，培养学生空间观念和推理能力，发展学生用数学思维思考现实世界的素养.

1.4 变式探究，拓展问题

问题7 如图4，△ACB和△ADB均为直角三角形，∠ACB=∠ADB=90°，求证：A，B，C，D四点共圆.

师生活动6：引导学生从圆的定义出发思考并证明.

问题8 如图5，若两个三角形始终保证有一条公共边，并且这条边所对的两个角∠C，∠D在该边的同侧并且相等，这四个点还会在一个圆上吗？

师生活动7：教师指导学生类比活动4的证明方法，课后梳理证明过程.

设计意图：问题是思维的源泉，更是思维的动力.数学教育家波利亚曾指出，类比是一个伟大的引路人.通过类比的方法，积累解决问题的经验，体会创新方法带给自己的信心与快乐.

1.5 感悟规律，简化问题

问题9 你可以用哪些方法证明四点共圆？

师生活动8：通过小结归纳本节课所学到的知识、技能和研究方法.

一个方法：类比操作的方法.

一种思想：从特殊到一般的思想.

两种判定：对角互补的四边形的四个顶点共圆；共边、同侧且公共边对的角相等的两个三角形的四个顶点共圆.

两种模型：对角互补型（图6）；共边等角型（图7）.

设计意图：通过小结了解学生本节课所学到的知识、技能、研究方法等情况，培养学生概括、表达的能力，提高学生对数学的真正理解，渗透数学的简易美和化归思想，培养学生用数学语言表达世界的能力.

2 教学思考

2.1 设计数学活动，奠定活动基础

《2022年版课标》明确提出“有效的教学活动是学生学和教师教的统一”.在平时的教学实践中，教师要善于转变自身的角色，创设学生能够独立思考、动手实践、自主探索、合作交流的数学活动，并且要善于留给学生主动参与的时间和积极尝试的空间.这能有效奠定活动开展的基础，不仅能开阔学生的视野，启发学生的潜能，培养学生的创新能力，还能让学生体验到“做中学”的乐趣，体会和运用数学的思想与方法.在本节课中，教师构建了数学活动课的一般模型：发现问题—提出问题—解决问题—得出结论—优化结论，在每个环节中都设计了不同的数学活动和问题，从师生合作到生生合作，从类比到转化，不仅奠定了教学基础，还能激活学生参与活动的兴趣，助推教学进程的有序开展.

2.2 探寻数学至简，积累活动经验

“授之于鱼，不如授之于渔.”学生只有掌握了学习数学知识的方法，探寻到数学规律的学习途径，数学教育才能真正获得成功.张奠宙先生等认为：数学活动经验是在数学目标指引下，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识.数学活动的目的就是将掌握的数学知识以最简单、最明了的方式加以运用.本节课就是在构建至简的数学课堂中做出了有益的尝试与探索，课堂教学过程简约，摒弃了浮躁、华而不实的课堂教学形式.师生在共同探寻证明四点共圆方法的过程中经历了画、量、证等动手实践活动，获得初步的数学经验；通过观察、分析、类比、证明和归纳等思维过程，获得四点共圆的两种简易模型，渗透数学的简易美.数学思维在思考和证明的过程中积淀，有利于数学活动经验的积累.

2.3 培养数学素养，追求活动本质

苏霍姆林斯基说：当知识与积极的活动紧密联系在一起的时候，学习才能成为孩子精神生活的一部分.数学活动具有数学教育的育人功能，在教学活动中通过灵活多变的形式，充分调动学生学习的兴趣和积极性，使得学生在活动中有所感、有所得.《2022年版课标》中将培养学生数学素养作为数学教育的总目标，即培养学生会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界.本节课中，学生从三点共圆的实际背景，类比提出四点共圆的问题，在问题的解决中采用逻辑推理方法探究四点共圆的条件，最后总结出四点共圆的模型，培养了数学抽象、逻辑推理和构建数学模型的能力.整个活动过程让学生在掌握知识技能的同时，感悟活动内容的本质，积累数学思维经验，促成学生数学素养的体悟与积淀.

数学核心素养是数学课程目标的集中体现，要求教师在教学活动中全面贯彻与推行.在课堂活动中，教师应结合教学任务设计合适的活动情境和活动问题，引导学生采用观察、测量、猜想、对比、验证等有效的活动方式，经历探寻活动规律的过程，获得富有成效的学习体验，进一步积累数学经验，在问题解决的过程中，理解数学内容的本质，促进学生数学核心素养的形成和发展.