近三年新高考Ⅰ卷立几题的特征演变及教学响应

摘"要"高中数学立体几何是高考的重要考点.本文基于2022年至2024年的新高考Ⅰ卷中的立体几何题目，探究立体几何考查特征的演变，并得出三点教学响应措施.

关键词"高考数学；立体几何；教学响应

一、基于空间几何构型与多角度综合考查

（2022年新高考Ⅰ卷）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3≤l≤33，则该正四棱锥体积的取值范围是（""）.

A.18，814 "B. 274，814 "C.274，643 "D.［18，27］

详解"如图1，由题意可知：球的半径R=3，设正四棱锥的底面边长AB=a，高SO=h，则l2=22a2+h2，9=h－32+22a2，h=l26，a2=36l2－l418，所以，正四棱锥的体积V=13Sh=1324（36l4－l6），求导得V′=154l3（24－l2）.令V′gt;0，得3≤llt;26，图1所以，当l∈［3，26）时，V单调递增；令V′lt;0，得26lt;l≤33，所以，当l∈（26，33］时，V单调递减.所以，当l=26时，Vmax=643，当l=3时，V=274，当l=33时，V=814，所以Vmin=274，所以该正四锥体积的取值范围是274，643.故选C.

试题特征"2022年新高考Ⅰ卷中的立体几何试题注重几何构型的综合考查，涉及多种空间关系的分析，尤其是正四棱锥的体积和球的体积之间的联系，考查了考生对立体几何图形的直观理解、几何量的计算能力以及数形结合思想的运用.该题通过已知正四棱锥的侧棱长及其顶点均位于同一球面上这一特殊条件，要求考生计算正四棱锥的体积取值范围，考查了对几何体体积公式的熟练掌握.考生需要将球体体积公式与正四棱锥体积公式进行结合，并对侧棱长进行合理的取值分析.这类题目要求考生具备灵活应用基本几何公式的能力，精准理解几何图形的特殊位置关系，并且能够通过数形结合的方式解决复杂问题.

二、从空间位置关系到空间角度的深化考查

（2023年新高考Ⅰ卷）如图2，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4.点A2，B2，C2，D2，分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2=1，BB2=DD2=2，CC2=3．

1证明：B2C2∥A2D2；

2点P在棱BB1上，当二面角P－A2C2－D2为150°时，求B2P．

证明"1如图3，作A2E⊥BB1于点E，D2F⊥CC1于点F，则有A2E∥D2F，A2E=D2F，即四边形A2EFD2是平行四边形，从而A2D2∥EF，又B2E∥C2F，B2E=C2F=1，即四边形B2EFC2是平行四边形，从而B2C2∥EF，从而B2C2∥A2D2，得证．

2如图4，以点B为原点，以BC、BA、BB1分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．设P（0，0，t），C2（2，0，3），A2（0，2，1），D2（2，2，2），A2D2=（2，0，1），A2C2=（2，－2，2），A2P=（0，－2，t－1），设平面A2C2D2的一个法向量为m→=x1，y1，z1，则m→·A2D2=0，m→·A2C2=0，即2x1+z1=0，2x1－2y1+2z1=0.令z1=－2，则x1=1，y1=－1，故m→=（1，－1，－2）.设平面PA2C2的一个法向量为n→=x2，y2，z2，则n→·A2P=0，n→·A2C2=0，即－2y2+（t－1）z2=0，2x2－2y2+2z2=0，令z2=2，则x2=t－3，y2=t－1，故n→=（t－3，t－1，2），由于二面角P－A2C2－D2的平面角为150°，所以cos＜m→，n→＞=m→·n→m→·n→=6"6·"（t－3）2+（t－1）2+4="32，解得t=1或3，则B2P=1．

特征演变"2023年新高考Ⅰ卷中的立体几何试题相较于2022年有了明显的演变，考查的重点从几何体积与构型的简单计算逐步过渡到更加复杂的空间位置关系与角度分析.题目通过正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的几何模型，设定了不同的点在棱上的位置关系，要求考生先证明直线间的平行性，再进一步探讨二面角的计算.这类题目不仅要求考生掌握基本的几何构型特征，还涉及了对空间中点、线、面的关系进行更细致的分析.尤其是第二问中，涉及二面角的求解，要求考生能够对空间中的角度进行准确计算，体现了对考生空间思维能力和立体几何中角度问题的深层次考查.与2022年以几何体积和几何构型为主的题型相比，2023年的题目更多地强调了几何中的位置关系和角度分析，尤其是对于二面角的理解.这种演变更加强调了立体几何中多角度、多层次的解题思路，展现了题型的综合性和复杂性提升.

三、从基本空间关系到复杂几何构型和角度考查的深化

（2024年新高考Ⅰ卷）如图5，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB="3．

1若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC;

2若AD⊥DC，且二面角A－CP－D的正弦值为"427，求AD．

证明"1因为PA⊥平面ABCD，AD平面ABCD，所以PA⊥AD，又因为AD⊥PB，PA∩PB=P，PA，PB平面PAB，所以AD⊥平面PAB，又AB平面PAB，所以AD⊥AB，因为AB="3，BC=1，AC=2，AB2+BC2=AC2，所以BC⊥AB，于是AD∥BC，又AD平面PBC，BC平面PBC．所以AD∥平面PBC．

2因为AD⊥DC，以D为原点，分别以DA，DC，为x，y轴，过点D作PA的平行线为z轴，建立空间直角坐标系（图6），设AD=agt;0，则DC="4－a2，D（0，0，0），A（a，0，0），C（0，"4－a2，0），P（a，0，2），设平面DCP的一个法向量n1→=（x1，y1，z1），因为DC=0，"4－a2，0，DP=a，0，2，所以由DC·n1→=0，DP·n1→=0，即"4－a2·y1=0，ax1+2z1=0可取n1→=（2，0，－a）.又AP=（0，0，2），AC=（－a，"4－a2，0），设平面ACP的一个法向量n2→=（x2，y2，z2），所以AP·n2→=0，AC·n2→=0，由2z2=0，－ax2+"4－a2y2=0，取n2→=（"4－a2，a，0），因为二面角A－CP－D的正弦值为"427，所以余弦值的绝对值为1"7．所以由cos＜n1，n2＞=1"7=n1·n2|n1|·n2=2"4－a22"4+a2，得a="3，因此AD="3．

特征演变"2024年新高考Ⅰ卷中的立体几何试题在题型设计上相较于2022年和2023年有了进一步的深化与拓展.该题通过四棱锥P-ABCD这一几何构型，首先要求考生证明直线与平面的平行性，考查空间中直线、平面关系的理解与运用；随后通过几何构型中的二面角问题，进一步加深对复杂空间关系的考查，尤其是通过正弦值求解边长，考查了学生对二面角和三角函数结合几何分析的能力.这与2022年的正四棱锥与球体积问题和2023年的二面角问题相比，2024年的题目不仅延续了对空间几何位置关系和角度的分析，还进一步增强了几何推导中的综合性和复杂性.该题涉及了直线与平面的平行性证明、二面角的分析、空间点的距离关系、三角函数与几何问题的结合，考查考生的逻辑推理、空间想象和几何构型理解能力，全面提升了题目的难度与层次性.需要考生能从多角度综合运用几何知识与代数工具.

四、教学响应

1.加强空间几何构型的理解与建模训练

随着近几年立体几何试题中几何体构型复杂性的逐步提升，教学中需要注重学生对基本几何体（如四棱锥、四棱柱等）的空间结构理解.教师可以通过几何建模和动态演示帮助学生加深对不同几何体位置关系的理解，培养学生的空间想象力.比如，结合2022年的正四棱锥与球体积问题和2024年的四棱锥P－ABCD问题，教师应引导学生在课堂上进行几何体的构型绘制、理解不同点、线、面之间的关系，进一步通过空间几何建模软件进行直观演示和交互，帮助学生准确理解空间中线与面的关系、几何体的构型特点以及体积、角度的变化规律.

2.强化数形结合与多维度思维训练

随着试题中二面角及角度正弦值问题的增加，教学中应加强数形结合的训练，帮助学生从不同角度理解复杂几何问题.教师应注重几何推理与代数运算的有机结合，提升学生通过代数工具解决几何问题的能力.通过在课堂上设置多维度问题，要求学生将立体几何与平面几何、三角函数结合起来，培养灵活运用几何推导和代数分析的能力.结合2024年二面角正弦值求解问题，教师应指导学生如何从几何关系中提取出三角函数信息，如何运用代数方法辅助推理，帮助学生提高综合解题能力.

3.深化对空间角度与二面角问题的专题训练

在教学中需设计专项训练，针对二面角、直线与平面的夹角等进行深入讲解和多题型演练.教师可以通过分层次的专题训练，循序渐进地培养学生从空间想象到角度分析的能力，逐步提升从直观图形到抽象角度推理的水平.例如，通过分析2023年二面角求解与2024年正弦值问题，教师可以设计类比练习，帮助学生熟悉从空间位置关系中提取出角度信息，并通过几何、三角函数结合的方式精确求解角度，进一步提高应对复杂空间角度问题的能力.

参考文献

［1］刘小嘉.立体几何教学中培养高中生直观想象素养的教学策略研究［J］.牡丹江师范学院，2022（05）.

［2］蔡鹏举.谈以核心素养为导向将传统数学文化融入高中立体几何教学的策略［J］.中华活页文选（传统文化教学与研究），2023（10）.