由一道模考题教学谈高效试卷讲评课

摘"要"本文从一道高三模考题的多解探究说起，展示寻求最优解的教学过程，并将此方法运用于其它试题，最后给出了打造高效试卷讲评课的几点建议.

关键词"模考题教学；解法优选；类题串练；讲评课

试卷讲评课是指教师针对学生的试卷表现，对试卷内容进行系统深入的分析和点评的教学活动.这一课型中，教师进行有针对性分析，旨在帮助学生识别知识漏洞、完善知识结构，并进一步提升解题技巧和学习策略的运用能力.通过讲评，学生不仅能够更深入理解知识要点，掌握解题思维逻辑，还能够巩固所学内容，实现知识的再整理和再运用.

近期我市组织了一次高三模考，其中填空的最后一题涉及解三角形问题，大部分考生都采用了正（余）弦定理处理，计算繁琐，而笔者认为其优解应是解析法或三角代换.基于此，本文探究此题解答，并对高效试卷讲评课谈几点建议.

题目"（2024届南通四模第14题）在梯形ABCD中，AB∥CD，DA=DB=DC=1，则该梯形周长的最大值为______.

1.解法探析

解法1"（由边设角，利用余弦定理，用角表示目标中的边转化为求三角函数最值）设∠BAD=∠BDC=α，α∈0，π2，则∠ADB=π－2α.在ΔABD中，由余弦定理得AB2=DA2+DB2－2DA·DBcos∠ADB=4cos2α，即AB=2cosα.

在ΔBCD中，由余弦定理得BC2=DC2+DB2－2DC·DBcos∠BDC=4sin2α2，即BC=2sinα2.所以AB+BC=－4sin2α2+2sinα2+2.因为α∈0，π2，所以α2∈0，π4，故sinα2∈0，22，则当sinα2=14时，AB+BCmax=94，所以该梯形周长的最大值为94+2=174.

方法2"（由边设角，利用余弦定理，消角“留”边，转化为某条边的二次方程，用判别式法求解）

设∠BAD=∠BDC=α，∠ADB=β，α，β∈0，π2，AB=x，BC=y，x+y=t，则2α+β=π，所以cos2α+cosβ=0，即2cos2α－1+cosβ=0.由余弦定理得21+1－y22×1×12－1+1+1－x22×1×1=0，即x2=2－y22.因为α∈0，π2，所以cosα=1+1－y22×1×1＞0，即2－y2＞0，所以x=2－y2.因为x+y=t＞0，所以y2－y+（t－2）=0，由Δ≥0，得0＜t≤94，即AB+BCmax=94，所以该梯形周长的最大值为94+2=174.

解法3"（视D为定点，A，B，C为动点，联想到圆的定义）建立平面直角坐标系，设D（0，0），C（1，0），B（x，y）0＜x，y＜1，则x2+y2=1且A（－x，y），所以AB+BC=2x+x－12+y2=2x+2·1－x.令1－x=t∈0，1，所以AB+BC=－2t2+2t+2，当t=24时，AB+BCmax=94，所以该梯形周长的最大值为94+2=174.

解法4"（点A，B，C在以点D为圆心的单位圆上，可采用三角代换）建立平面直角坐标系，设D（0，0），C（1，0），B（sinα，cosα），α∈0，π2.因为∠ADC=π－α，所以B（－sinα，cosα），故AB+BC=2sinα+sinα－12+cos2α=2sinα+2－2sinα.令2－2sinα=t∈0，2，所以AB+BC=2－t2+t，当t=12时，AB+BCmax=94，所以该梯形周长的最大值为94+2=174.

评注"求三角形（或四边形）中边（或角）的最值（或范围）时，一般有两种思路：一是转化为某个角的三角函数（如方法1）；二是转化为某条边的函数（如方法2）.事实上，当涉及“边角”问题时，尝试用解析法（如方法3）或三角代换（如方法4）处理，更为简捷.

2.训练

（2024届南通州4月质检）ΔABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，M为BC的中点，延长AM与△ABC的外接圆交于点D，则BD+CD=______.

优解"建立平面直角坐标系后，设A0，0，C1，0，B－1，3，M0，32，ΔABC的外接圆为x2+y2+Dx+Ey+F=0，得D=－1，E=－533，F=0，所以x2+y2－x－533y=0，因为xB+xC=0，所以令x=0，则D0，533，故BD+CD=21.

3.教学建议

3.1找准方法，揭示本质

试题类型不同，答题方法各有差异，倘若仅校正答案，虽然学生知道答什么，但不清楚为什么这样答，对出错的原因和以后怎样避免出错也不清楚，因此讲评时应加强答题方法指导.指导学生学会读题、审题、理解题意，把握答题方向；指导学生厘清步骤，注意答题的条理性和规范性；指导学生答题速度，并能在试题难度较大的情况下，予以灵活应对.

3.2回归课本，落实四基

阅卷时，应发现学生能否正确运用课本上的基本概念和基本规律；讲评时，应把每个试题都纳入知识体系中，紧扣课本，分析讲解，让学生根据课本的知识和原理对号入座，找到错误的缘由，当堂纠正.这样讲评能给学生留下深刻印象，促使学生系统牢固地掌握和灵活地应用课本知识.

3.3 双向沟通，提质增效

讲评中要充分发挥学生的主体作用，多让学生自己讲.对跨度大、综合性强、学生感到困难的试题，先让学生讨论，在此基础上由教师点评，形成参考答案.这样有利于充分调动学生思维的积极性和敏捷性，从而提高其分析问题和解决问题的能力.总之，试卷讲评课要让学生发现自己错误和找寻最优解法，将课堂还给学生，讲评在重点、难点、疑点、关键点、学生易错点、知识生长点等，从而产生纠正错误、巩固知识、拓宽思路、提高能力的教学效果.

基金项目：南通市教育科学“十四五”规划2021年度课题“提高农村高中数学讲评课有效性的适切策略研究”（编号：QN2021073）