透过映射看函数定义

摘"要：函数的定义历来是中学数学教学中的重点与难点，同时也是高中生学习数学概念的难点之一。为了解决函数定义的教与学难题，本文从映射定义出发，结合高中数学新课标中核心素养培养要求，从映射的对应关系以及集合的角度再次分析函数的定义，更精准理解概念本质。通过对概念的再次分析和理解，从高中数学的新课标实施角度出发，从三个方面入手精细设计了函数定义的教学方案，联系前后知识内容，最后使函数的定义被学生更容易理解和掌握。

关键词：映射；函数；对应关系；集合

函数概念至少在古希腊时代已经萌芽，中文的“函数”一词最早出现在李善兰翻译的《代数学》中［1］，现阶段我国高中函数定义的表述是黎曼对应说与布尔巴基学派关系说的融合，采纳了“对应”和“关系”的表述方式［2］。本文从映射定义的角度出发，就如何把握函数定义与函数定义的教学方法做了讨论与分析，给出函数定义教学的几点建议。

1"从映射定义出发认识函数定义

有许多的学者在文献中也讨论了函数定义教学相关问题。张波［3］认为对于函数的定义应该先给出变量关系的函数的定义，给出集合对应观点下的函数的定义，由此拓展到映射的定义。赵思林等［4］认为现阶段的高中函数定义违背了“定义要相称”的规则，并且同一符号意义不一，定义叙述不简明。保继光等［1］给出函数的一个定义，此定义没有特别地强调实数y所在的实数子集，或者认为此处集合B为整个实数集。这些观点都对函数的定义做了深刻的思考，分析函数定义的内涵，帮助数学教师理解、掌握函数定义。但是仅仅从函数定义本身出发还是不够，应该梳理知识脉络，从更高层面去认识函数的定义。

高中新课标中提到了培养学生的数学核心素养，如何培养学生的数学核心素养？史宁中等［5］认为要实现教育目标必须遵循两个原则，一个原则是把握数学知识的本质，另一个原则是设计并且实施合理的教学活动。对于函数定义的认知也可通过把握函数的本质——映射来实现，在研究映射的基础上设计并开展教学活动。

首先，给出映射的定义：

“设A、B是非空的集合，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个映射，记作y=f（x）x∈A”。从映射的定义可知，函数是特殊的映射，为了把握函数的定义，应该从映射概念的认知入手。

1.1"对应关系的认识

1.1.1"映射中对应关系的分析

讨论了对应关系在映射中所起到的作用，接下来看看对应关系的“类型”。集合之间的对应关系实际是一种人为的规定：没有理论逻辑或者对应规律可遵循，如式（1）的对应关系所示，而这种无序的对应关系没有什么研究的价值。常见映射中所规定的对应关系一般都是给出元素之间有规律的对应［如式（2）的对应关系］或者每个元素（或若干个元素）都与同一个元素对应［如式（3）的狄利克雷函数的对应关系］。

A=1，2，3，B=4，5，6（1）

f1：A→B"f1：1→5，2→4，3→5

f2：R→R（R为实数集）"f2：x→x+1（2）

f3：［0，1］→R（R为实数集）"f3：x→1，x是有理数

x→0，x是无理数（3）

1.1.2"函数定义中对应关系引入的必要性

在初中阶段所学习的函数是以“变量说”来定义概念的：如果在一个变化过程中有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数。它强调的是用函数描述一个变化过程，而高中的函数定义强调的是对应结果。两种函数的定义由对应量之间的量变上升为两个集合之间元素的相对应，人为规定的法则产生的对应比直观的量变抽象、难以理解。但是函数定义会随着学习深度的加强，出现诸多的问题：首先，有些函数不能用初中的函数定义表述出来。函数的表达方式有列表式、图像法及解析式法，但如式（3）的狄利克雷函数就无法用这三种方法来表示，只能用元素对应的方法来描述。其次，初中函数的定义由于变量有现实意义，所以函数不能进行加、减、乘、除的运算，只能将集合中元素的现实意义剔除，保留其抽象本质，然后才能进行函数的运算。最后，初中函数定义也制约后续学习中函数性质、图像等的研究。

1.1.3"映射定义中对应关系的理解

在映射定义中，“使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应”这句话是用来限制对应关系的，也就是说，映射定义中的对应关系必须要给集合A中每一个元素在集合B中找到与之对应的元素，即A中不能有元素“剩下”来。并且对于A中的每一个元素在B中找到的元素必须是唯一的，即对应关系不能让集合A中的元素出现“以一对多”的情况。映射定义中的对应关系必须遵循以上的原则，那又有哪些“漏洞”可以让对应关系来“钻”呢？首先，通过分析映射定义可以得出在对应关系之下，集合B中的元素可以“剩下”来；其次，集合A中可以允许出现多个元素对应B中一个元素的现象即“以多对一”的情况。函数是特殊的映射，所以函数定义中的对应关系也满足以上的情况，并且可以利用以上的分析结果帮助理解学习函数，现以“以多对一”为例来说明这一点。在初次学习高中函数定义后，很多学生在判断很多特殊的函数时感觉无从下手，例如：判断f（x）=c（c为常数）是否为函数。虽然满足函数对应关系的条件，但受到初中函数定义的影响，学生通常无法判断，而这恰恰是“极端”的“以多对一”情况，故可以判断为函数。除了判断特殊函数外，理解好“以多对一”的情况，还能够帮助到后续周期函数的学习。

1.2"映射定义中集合的认识

1.2.1"映射定义中集合元素的再认识

在初中和高中所学习的函数中集合的元素均是数字，而映射中的集合并没有规定集合的元素必须为数字，这是函数与映射定义中的一个不同之处。集合中的元素可以是多样的，如集合的幂集，其元素为集合。因此，映射中集合元素的变化也导致了映射不能再沿用初中函数利用“变量说”来定义。

1.2.2"映射定义中集合的再认识

映射定义中的集合与函数定义中的集合除了元素不同外，还有集合本身的形式也发生了改变。在这里主要探讨集合以若干个集合的积的形式出现时，映射的再认识。

定义［6］：令A1，A2，…，An分别是n个集合，由一切从A1，A2，…，An里顺序取出的元素组（a1，a2，…，an）（ai∈Ai）做成集合A1，A2，…，An的积。

记成"A1×A2×…×An（若干个集合的积仍是一个集合）。

令集合A=A1×A2×…×An，B是一个集合，定义A与B的一个映射f。

f：A1×A2×…×An→B"f：（a1，a2，…，an）→bb∈B

由定义可以看出这是一个序组与一个元素对应的映射。如果理解了这个映射，把A1，A2，…，An，B换成数集，就会成为我们研究的某个多元函数。通过讨论集合的积及相关映射，会发现映射的定义具有高度的概括性和抽象性，函数定义只是映射定义一种特殊情况下的表述。所以站在映射的角度去认识函数定义是非常有必要的。

在这一部分通过分析研究映射的定义，在梳理知识脉络的基础上了解初中函数、高中函数与映射定义之间的区别、联系。对函数定义的再认识能帮助教师把握教学深度和教学内容，做到收放自如、成竹在胸，为教学环节的顺利进行奠定一定的基础。

2nbsp;函数定义的教学方法探讨

由于教学资源分布不均和学生生源不同，笔者认为函数定义的教学方法重点应该从其本质出发，遵循以学生发展为本的理念。下面在第一部分分析讨论的基础上，给出高中函数定义教学的几点建议。

2.1"全盘考虑，精密布局

高中函数定义不是一个孤立的概念，之前有初中的函数定义，随着内容的延伸还会涉及函数的性质、图像、特殊的函数等，最后还要考虑与映射定义的衔接。兼顾前后的教学内容，使初中函数定义→高中函数定义→（映射定义）这条主线贯穿在教学中。

2.1.1"温故知新，引入函数定义

初中已经给出了“变量说”的函数定义，在给出新的函数定义之前可以利用已知函数定义引入。这个过程操作起来不是太容易：第一，学生会对为何要引入新函数的定义产生疑问；第二，如何才能将变量变化的过程转变为两个集合元素之间的对应。根据学生对新知有探索欲望的心理特点，首先要解决第二个问题，引入新的函数定义。

引入新定义的步骤：

①利用初中函数定义，引导学生观察自变量与应变量所组成的集合元素之间的关系。如匀速运动中时间与路程之间的函数关系式，如果找出部分的时间点做成一个集合，可以得到一些相应路程的值做成的集合，让学生观察两个集合元素之间的关系：两组对应的值都满足同一个关系式，即满足同一个对应关系。

②给出两个非空数集，试着让学生总结出用对应关系的方法如何给出函数的定义，最后教师加以完善。学生经过总结得出了新的函数定义，可能掌握不到位，但是可以明白高中的函数定义与初中函数定义之间的联系。

2.1.2"提升认识，解决疑问

此环节重点就是解决为什么要引进新的函数定义，教师应该根据学生不同的实际情况采用不同的解决办法。如果学生的掌握情况良好并且整体理解能力不错，教师可以给出两个具有实际意义（如时间与路程、圆半径与面积）的函数表达式，通过这两个函数不能相加来说明初中函数定义的局限性。如果学生掌握情况一般，教师则可以利用反例说明初中函数定义不能表述所有函数。

2.1.3"预留问题，开拓思维

在整个函数定义的教学中，给学生预留几个问题。例如，函数定义中的数字集合能否换成含有其他类型元素的集合？函数的对应关系不出现“以多对一”时，函数的对应关系又会出现几种对应的情况？学生在经过思考、查阅资料解决这些问题时，拓宽了思维，提高了自学的能力。同时，也将所学知识延展，与映射定义相对接，完善了知识体系。

2.2"集中火力，突破难点

高中函数定义中最难理解的是“对应关系”，在教学过程中应该通过多种手段、方法，让学生能够突破理解的瓶颈，掌握“对应关系”。

2.2.1"举例说明，一目了然

给出多个不同的对应关系，让学生直观感知集合之间的对应关系就是人为规定的一种元素之间的对应。下列的简单例子，都是对应关系。

给定集合A=1，2，3，4与B=7，8，9，10

f1：A→B，f1：1→7，2→8，3→9，4→10（4）

f2：A→B，f2：1→7，2→7，3→9，4→8（5）

f3：A→B，f3：1→7，1→8，2→10，3→8，4→7（6）

f4：A→B，f4：2→7，3→9，4→8（7）

2.2.2"分析讨论，加深理解

以上面给出的例子为分析对象，说明函数定义下对应关系需要满足的要求：集合A中每一个元素都在集合B中找到唯一的元素对应。

式（4）是一个函数，学生刚刚接触函数的对应关系时常常会举出类似这样的例子来，但此例不足以说明函数定义中对应关系的特殊性。式（5）中有两个元素对应同一个元素，教师可引导学生反观函数定义中对应关系的要求，通过思考、讨论得知式（5）也是函数。这道例题使学生对函数定义中对应关系又加深了认识：对应关系中可以出现“以多对一”的情况。式（6）是个反例，重点说明函数定义中对应关系不能出现“以一对多”，加深学生对元素通过对应关系只能找到唯一的对应元的理解。式（7）同样也是一个反例，主要是想提醒学生注意函数定义中“每一个”元素必须通过对应关系找到对应元，而不是存在部分元素能找到对应元。

2.2.3"集合“B”的探讨

给定一个函数f：A→B，关于集合B有哪些注意事项呢？首先，通过函数定义可以知道函数的值域包含在集合B中。其次，引导学生注意函数定义中是否还有关于集合B的限制条件？给出一个例子。

给定集合A=1，2，3，4与B=7，8，9，10

f：A→B，f：1→7，2→6，3→10，4→8

虽然通过对应关系给集合A中每个元素都找到了唯一的元素与之对应，但是，其中有一个元素2所对应的元素6不在集合B中，所以不是函数。利用这个反例提醒学生注意集合A中每一个元素的对应元素必须都要在集合B中。

2.3"化整为零，提升认知

函数是整个数学教学中一个重要的教学内容，它是贯穿高中数学课程的主线。所以，其定义绝非通过一两节课时的讲授就能掌握好的，需要在后续课程以及课余来补充知识，提升认知。

2.3.1"课余时间“查一查”

教师可以指导学生在课余时间通过上网查阅或者翻阅纸质资料等方式，搜集整理函数定义的发展史，写一篇小论文或者读书笔记。学生学习函数相关的数学史知识后，能够了解函数定义产生的研究背景，积累一定的数学文化。同时，函数与数学建模之间有着非常紧密的联系，函数是构建数学建模的有力工具，从这个方面也反映了函数应用的广泛性。学生通过课余的学习增加了对函数研究背景及应用的了解，提高了学习函数的兴趣，同时提升了对函数定义的认知，在学生的眼里，函数不再只是数学概念与练习题，而是一个充满吸引力的未知领域。

2.3.2"后续课程中对函数定义的巩固

整个高中数学教材中函数这部分内容在必修课程课时建议表中给出了52个课时［2］，在课时总数中所占比重非常大。后续的课程在讲授过程中会一直用到函数的定义，应该利用这个有利机会，继续深化函数定义的教学。例如，在讲授指数函数、幂函数、对数函数时，不仅可以反复巩固函数的定义，还能在学习这些特殊函数图像、性质的过程中再次体会高中函数定义给出的必要性及定义的抽象性。旧知新学，不断进行深入的思考、体会，才能使函数定义掌握得更好。

结语

本文通过研究映射来再次认识高中函数的定义，并据此制定函数定义的教学思路以及教学方法。希望通过这样的探讨能够提升函数定义教学的效果，并且为类似的教学内容在教学思路和教学设计上提供有用的方法。

参考文献：

［1］保继光，曹絮.也谈函数的定义［J］.数学通报，2018，57（6）：1417.

［2］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2018.

［3］张波.对人教A版《数学（必修1）》内容的建议［J］.教学与管理，2018（1）：4143.

［4］赵思林，王佩，徐小琴.高中函数定义存在的问题与修订建议［J］.教学与管理，2017（1）：4143.

［5］史宁中，林玉慈，陶剑，等.关于高中数学教育中的数学核心素养：史宁中教授访谈之七［J］.课程·教材·教法，2017，372（4）：814.

［6］张禾瑞.近世代数基础［M］.北京：高等教育出版社，1978.

基金项目：宁夏回族自治区高等教育教学改革与实践项目（项目编号：bjg2021077）；宁夏自然科学基金（No.2022AAC03331）

作者简介：张慧（1977—"）女，汉族，宁夏固原人，硕士，教授，研究方向：代数学教育研究。