概念自然生成 知识追本溯源 提升数学素养

数学的概念教学对培养学生的思维能力具有举足轻重的作用.如何上好一堂数学概念课？如何让学生概括知识的本质特征，感受数学抽象的魅力？

1 教材分析

教学内容选自人教A版（2017年版）必修二第六章第一节“平面向量的概念”.向量是近代数学中重要和基本概念之一.向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁，在解决实际问题中发挥着重要的作用.

本节课是本章的起始课，是本章学习的先行组织者.引导学生从具体情境中领悟向量概念的本质特征，抽象的方法是通过观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维方法得到的.启发学生认识到研究概念的基本途径：定义-表示-特殊元素-特殊关系-灵活应用.

2 教学过程

2.1 情境引入，概念自然生成

问题1 小罗同学乘坐水上巴士春游，从广州塔码头出发，船行驶了1.5 km至某地点A，如图1.你能准确说出是哪个码头吗？如何描述才能准确定位呢？

学生1：不知道，因为只给出了距离，移动的方位是未知的，想要定位应该知道位移.

追问：小罗同学春游前先查询了天气情况，如图2所示，低于零度的气温可以看作有大小和方向的量吗？风力呢？

学生2：低于零度的气温可以用负数来表示，而想要确切地描述风，除了用一个实数说明风力，还要给出风向.

教学说明：通过广州市具有特色的水上巴士的例子，感受到数学与生活息息相关.利用实例引导学生对有方向的量、无方向的量进行分类.

问题2 生活中还有哪些量具有和位移、风力同样的特征呢？能否再列举一些生活中只有大小没有方向的量？

学生3：与位移相似的量，如图3中的水上巴士的重力、浮力、速度、加速度等.水上巴士的票价、教室的面积、同学的身高等用一个实数就能表达.

教师：既有大小又有方向的量，称为向量.只有大小没有方向的量称为数量.大约公元前350年，亚里士多德就知道了力可以表示成向量.向量比数量多了一个方向，产生了哪些神奇的影响呢？让我们走进向量！

教学说明：概念的抽象需要典型丰富的实例，让学生再回到生活中寻找是否还具有大小和方向两个特征的量，调动学生的积极性.类比物理中矢量的概念，得到向量的定义.

2.2 自主构建，知识追本溯源

问题3 类比数量的表示，如何用几何方法和字母方法表示向量呢？

教师：一是沿用有向线段的表示方法.最先使用有向线段表示向量的是英国科学家牛顿.1827年，默比乌斯以AB表示向量，这种用法被数学家广泛接受.二是用小写字母加箭头表示，如a，b.哈密顿、吉布斯等人以小写希腊字母表示向量.后来，为印刷方便，人们又用粗黑体小写字母a，b表示向量.

问题4 如何表示向量的长度（或称模）？

问题5 能否列举两个特殊长度的向量？

教学说明：简要介绍向量的发展史，渗透数学文化.联想实数中特殊的数字0和1，引导学生阐述零向量与单位向量的定义.

问题6 自然界处处有正六边形，如蜂巢、肥皂泡和海绵外骨骼等.设O是正六边形ABCDEF的中心，给图4中的线段加上箭头表示向量，请说说图中向量之间的关系.

追问6-1：你能分别写出图中的共线向量吗？你可以列举图中与OA，OB，OC相等的向量吗？

追问6-2：图中共有多少组共线向量？

教学说明：自主探究，类比直线的位置关系，生成向量的相应定义.教师也可以拿出用纸板做的实物教具——“向量”，通过对向量进行合理分类，发现图中共有18组共线向量.

2.3 自我监控，明晰向量概念

例1 判断下列说法的正误：

（1）若|a|=0，则a=0.

（2）若|a|=|b|，则a=b.

（3）若|a|gt;|b|，则agt;b.

（4）若a=b，b=c，则a=c.

（5）若a∥b，b∥c，则a∥c.

（6）若a∥b，则|a|=|b|.

（7）若非零向量AB∥CD，则AB∥CD.

例2 （1）在平面内把所有表示单位向量的有向线段的起点平移到同一点，那么它们的终点的集合组成什么图形？

（2）把平面内所有方向相同的向量的起点平行移动到同一点，那么这些向量的终点的集合组成什么图形？

（3）把平面内平行于某一直线的所有向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点构成什么图形？

教学说明：例1考查学生举反例和思辨的能力.例2体现出向量的几何属性，可以利用纸板“向量”教具进行形象化演示，也可借助信息技术工具进行展示.

2.4 应用迁移，灵活应用提升

例3 如图5所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且|AC|＝5.

（1）画出所有的向量AC；

（2）求|BC|的最大值与最小值.

教学说明：感受向量数与形的二重特性，体会数形结合的思想方法.

问题7 能否用思维导图的形式组织本节课的主要内容？

教学说明：通过思维导图（如图6），系统化地总结本节课的一些概念.掌握研究数学的基本方法，从“学会”到“会学”.

3 教学反思

3.1 数学课堂要设计真切有趣的情境

数学来源于生活，概念是对知识的高度概括.形象生动的情境引入可以激发学生的学习兴趣，引领学生体会数学概念产生的必然性.通过抽象、类比的方法形成相关概念，学生能够深刻理解数学概念，并巧妙联系到生活实际，提升数学能力.

3.2 教学设计要融入数学历史的发展

丘成桐先生提出培养学生兴趣的关键，就是带领学生学习相关历史文化知识，在文化长河中感悟数学之美，让学生不仅提升数学上的学问，也提升文化修养.本节课选取了在向量发展史上有代表性的四位数学家，介绍了向量表示的发展史，拓宽了学生的眼界，丰富了课堂内容.

3.3 概念课型要给予学生探索的空间

概念课要适当地留白，让学生参与到概念本质特征的概括活动中，特别是有思维的实质性参与.有些定义不需要明确得太细致，懂得取舍能够让课堂更加高效.要让学生试错，激发他们的认知冲突，或者留作课后思考题，如“为什么规定零向量与任意向量平行？”有些概念并没有完全的对与错，只是为了方便定义和使用.如：温度为负数时，可以理解为向量吗？因为负数可以用实数表示，所以就没必要写成向量了.

3.4 迁移应用要挖掘概念的核心特点

本节课突出了向量的几何特征.如：问题6是在正六边形中找共线向量；例2强化了向量是自由向量；例3让学生动手作图，在变化中寻找最值.课堂活动充分利用了纸板实物教具模拟向量，形象地解释了例2中所构成的图形.运用信息技术工具，生动地展现平行向量，演示例题的答案，帮助学生更好地理解.

3.5 反思总结要提升概括抽象的能力

教学生学会如何定义，从数学家的角度进行思考.教会学生合理思维，适当进行逆向思考.通过思维导图的形式，帮助学生梳理所学知识，体会本节课蕴含的数学思想方法.让学生体会到数学研究问题的基本路径，进而提升发现问题、解决问题的能力，构建系统的知识蓝图.