“复变函数论”中奇偶性的原理与应用

摘"要：函数是数学的主要研究对象，而奇偶性是函数的一种重要特性，通过研究函数的奇偶性可以加强学生对函数概念与性质的理解，培养数学思维和创新能力.“复变函数论”是理工科本科生必修的数学基础课程，在自然科学的各个领域都有着广泛的应用.现有文献主要集中于研究实变量函数的奇偶性及其应用，对复变函数的奇偶性讨论较少.本文利用函数的奇偶性，系统研究复变函数中的积分、求导及留数等相关问题，以指导大学数学教学，改进教师的教学方法，提高学生的思维水平和计算效率，并体现数学之美.

关键词：复变函数；奇偶性；复积分；解析函数；留数

Abstract：Function"is"the"main"research"object"of"mathematics"and"parity"is"an"important"characteristic"of"function.By"studying"the"parity，students"can"strengthen"their"understanding"of"the"concept"and"property"of"function，and"cultivate"mathematical"thinking"andnbsp;innovation"ability.Complex"function"theory，as"a"compulsory"mathematical"basic"course"for"undergraduate"students"of"science"and"engineering，has"been"widely"used"in"various"fields"of"natural"science.The"existing"literature"mainly"focus"on"the"research"of"real"variable"function"and"there"is"little"discussion"on"the"parity"of"complex"variable"function.This"paper"uses"the"parity"of"function"to"study"the"problems"of"integration，derivation"and"residue"in"complex"variable"function"systematically，so"as"to"guide"college"mathematical"education，improve"teachers’"teaching"methods，promote"students’"thinking"level"and"computing"ability，and"reflect"the"beauty"of"mathematics.

Keywords：Complex"function；Parity；Complex"integral；Analytic"function；Residue

复变函数是数学的一个重要分支，“复变函数论”作为一种强有力的工具，被广泛应用于自然科学的众多领域，如物理场论、弹性理论、流体力学、自动控制论、医学成像与诊断等.函数是“复变函数论”的主要研究对象，而奇偶性是函数的基本性质之一，若能灵活使用奇偶函数的各项性质，可以使很多问题变得更为简单，可以进一步提高学生的计算能力，体现出了数学的对称之美.

1"函数奇偶性的定义与性质

定义1：设函数f（z）的定义域D关于原点对称，若z∈D，恒有f（-z）=f（z），则称f（z）为偶函数；若z∈D，恒有f（-z）=-f（z），则称f（z）为奇函数.

例如：sinz是奇函数，cosz是偶函数.

性质1：设z=x+iy，f（z）=u（x，y）+iv（x，y），若f（z）为偶函数，则有u（x，y）=u（-x，-y），v（x，y）=v（-x，-y）；若f（z）奇函数，则有u（-x，-y）=-u（x，y），v（-x，-y）=-v（x，y）.

证：若f（z）为偶函数，f（-z）=u（-x，-y）+iv（-x，-y），由f（-z）=f（z）可得，u（-x，-y）=u（x，y），v（-x，-y）=v（x，y）.类似可证明奇函数的性质.

定义2：设函数f（z）的定义域D关于虚轴对称，若z∈D，恒有f（-z）=f（z），则称f（z）为关于虚轴的偶函数；若z∈D，恒有f（-z）=-f（z），则称f（z）为关于虚轴的奇函数.

性质2：设z=x+iy，f（z）=u（x，y）+iv（x，y），若f（z）为关于虚轴的偶函数，则有u（-x，y）=u（x，y），v（-x，y）=v（x，y）；若f（z）为关于虚轴的奇函数，则有u（-x，y）=-u（x，y），v（-x，y）=-v（x，y）.

证：若f（z）为关于虚轴的偶函数，f（-z）=u（-x，y）+iv（-x，y），由f（-z）=f（z）可得，u（-x，y）=u（x，y），v（-x，y）=v（x，y）.

类似可证明关于虚轴的奇函数的性质.

定义3：设函数f（z）的定义域D关于实轴对称，若z∈D，恒有f（z）=f（z），则称f（z）为关于实轴的偶函数；若z∈D，恒有f（z）=-f（z），则称f（z）为关于实轴的奇函数.

性质3：设z=x+iy，f（z）=u（x，y）+iv（x，y），若f（z）为关于实轴的偶函数，则有u（x，-y）=u（x，y），v（x，-y）=v（x，y）；若f（z）为关于实轴的奇函数，则有u（x，-y）=-u（x，y），v（x，-y）=-v（x，y）.

证：若f（z）为关于实轴的偶函数，f（z）=u（x，-y）+iv（x，-y），由f（z）=f（z）可得，u（x，-y）=u（x，y），v（x，-y）=v（x，y）.类似可证明关于实轴的奇函数的性质.

定义4：设有向曲线C分为C1和C2两段，若沿C1行进至C2，曲线方向不发生变化，则称C1和C2同向，反之则为异向.

2"奇偶函数的积分

复变函数积分计算是复变函数教学中的重要内容，研究奇偶性在积分中的作用规律能进一步提升学生的思维水平与计算能力，指导教师改进复积分的教学方法.

2.1"定理1［1］

设函数f（z）在有向光滑曲线C上连续，C由C1和C2两部分构成.

（1）若C1与C2为形状关于原点对称的同向曲线，则有∫Cf（z）dz=0，当f为偶函数；

2∫C1f（z）dz，当f为奇函数.

（2）若C1与C2为形状关于原点对称的异向曲线，则有∫Cf（z）dz=2∫C1f（z）dz，当f为偶函数；

0，当f为奇函数.

证：若f为偶函数，由性质1，u（-x，-y）=u（x，y），v（-x，-y）=v（x，y）.

由定理1［1］知，∫Cu（x，y）dx=∫Cu（x，y）dy=∫Cv（x，y）dx=∫Cv（x，y）dy=0，故∫Cf（z）dz=∫Cu（x，y）dx-v（x，y）dy+i∫Cv（x，y）dx+u（x，y）dy=0.

若f为奇函数，由性质1，u（-x，-y）=-u（x，y），v（-x，-y）=-v（x，y）.

由定理1［1］知，∫Cu（x，y）dx=2∫C1u（x，y）dx，∫Cv（x，y）dy=2∫C1v（x，y）dy，∫Cv（x，y）dx=2∫C1v（x，y）dx，∫Cu（x，y）dy=2∫C1u（x，y）dy.

故∫Cf（z）dz=∫Cu（x，y）dx-v（x，y）dy+i∫Cv（x，y）dx+u（x，y）dy=2∫C1f（z）dz.

类似可证明（2）成立.

2.2定理2［2］

设函数f（z）在有向光滑曲线C上连续，C由C1和C2两部分构成.

（1）若C1与C2为形状关于虚轴对称的同向曲线，则有：

当f为关于虚轴的奇函数，∫Cf（z）dz=2∫C1（u+iv）dx.

当f为关于虚轴的偶函数，∫Cf（z）dz=2∫C1（-v+iu）dy.

若C1与C2为形状关于虚轴对称的异向曲线，则结论相反.

（2）若C1与C2为形状关于实轴对称的同向曲线，则有：

当f为关于实轴的奇函数，∫Cf（z）dz=2∫C1（-v+iu）dy.

当f为关于实轴的偶函数，∫Cf（z）dz=2∫C1（u+iv）dx.

若C1与C2为形状关于实轴对称的异向曲线，则结论相反.

证：设C1与C2为形状关于虚轴对称的同向曲线.若f为关于虚轴的偶函数，由性质2，u（-x，y）=u（x，y），v（-x，y）=v（x，y）.

由参考文献［3］中的定理6知，

∫Cu（x，y）dx=∫Cv（x，y）dx=0，

∫Cu（x，y）dy=2∫C1u（x，y）dy，

∫Cv（x，y）dy=2∫C1v（x，y）dy.

故∫Cf（z）dz=∫Cu（x，y）dx-v（x，y）dy+i∫Cv（x，y）dx+u（x，y）dy=2∫C1（-v+iu）dy.

类似可证明其他结论也成立.

2.3"应用举例

例：沿曲线正向计算下列积分.

（1）∫|z|=3zsinzdz；（2）∫|z|=3z12（z2+1）2（z4+2）3dz.

解：该圆周|z|=3可看做由关于原点对称的两条同向曲线构成，且被积函数为偶函数，由定理1积分值均为0.

3"奇偶函数的导数

解析函数是复变函数的主要研究对象，它是一类特殊的可导函数，关于解析函数性质的研究也是整个复变函数研究的核心问题.

3.1"定理3

设函数f（z）在关于原点对称的区域D内解析，若f（z）为奇函数，则有：

f（n）（z）为D内的偶函数，n为奇数；

为D内的奇函数，n为偶数.

若f（z）为偶函数，则结论相反.

证：设f（z）为奇函数，即f（-z）=-f（z），两边同时求导后有-f′（-z）=-f′（z），故f′（z）为偶函数，由数学归纳法和解析函数的无穷可微性可得结论.类似可证明偶函数的结论.

3.2"定理4

设函数f（z）在零点的邻域|z|＜δ内解析，若f（z）为奇函数，则函数在该邻域内的泰勒级数仅含奇数次幂项；若为偶函数，则含偶数次幂项.

证：由泰勒展开定理，f（z）=∑+∞n=0cnzn，|z|＜δ，其中cn=f（n）（0）n！.

若f为奇函数，n为偶数时，由定理3知f（n）（z）也为奇函数，故f（n）（0）=0，即cn≡0，级数中仅含z的奇数次幂项.

类似可证明偶函数的结论.

3.3"定理5

设不恒为零的函数f（z）在零点的邻域|z|＜δ内解析，且0为f（z）的m级零点.若f（z）为奇函数，则m为奇数；若f（z）为偶函数，则m为偶数.

证：由已知0是f（z）的m级零点，则有f（z）=zmg（z），|z|＜δ，其中g（z）在|z|＜δ内解析且g（0）≠0.若f为奇函数，g（z）必为偶函数，故m为奇数.类似可证明偶函数的结论.

4"奇偶函数的留数

留数又称残数，是“复变函数论”中一个非常重要的概念.留数计算一般是先将函数在包含孤立奇点的圆环域内展开为洛朗级数，再寻找负一次幂项的系数（有限孤立奇点），这种方法虽然是最本质的方法，但涉及函数级数展开往往较为麻烦，如果能结合函数的奇偶性进行分析，求留数的过程会更为方便.

4.1"定理6［4］

设f（z）的定义域D关于原点对称，a是f（z）的有限孤立奇点，若f（z）是偶函数，则Res［f（z），a］=-Res［f（z），-a］.若f（z）是奇函数，则Res［f（z），a］=Res［f（z），-a］.

证：由洛朗定理，f（z）=∑+∞n=-∞cn（z-a）n，0＜|z-a|＜δ.

则f（-z）=∑+∞n=-∞cn（-z-a）n=∑+∞n=-∞（-1）ncn（z+a）n，0＜|z+a|＜δ.

而-f（-z）=-∑+∞n=-∞cn（-z-a）n=∑+∞n=-∞（-1）n+1cn（z+a）n，0＜|z+a|＜δ.

若f（z）为偶函数，f（z）=f（-z），则有Res［f（z），a］=c-1=-Res［f（-z），-a］=-Res［f（z），-a］.

若f（z）为奇函数，f（z）=-f（-z），则有Res［f（z），a］=c-1=Res［-f（-z），-a］=Res［f（z），-a］.

推论：设0是f（z）的孤立奇点，若f（z）是偶函数，则Res［f（z），0］=0.

证：由定理6，Res［f（z），0］=-Res［f（z），0］，故Res［f（z），0］=0.

4.2"定理7

设∞是f（z）的孤立奇点，若f（z）是偶函数，则Res［f（z），∞］=0.

证：由无穷远点留数的计算规则，Res［f（z），∞］=-Resf1t1t2，0.

若f（z）为偶函数，则f1t1t2为变量t的偶函数.再由推论1可得，Res［f（z），∞］=0.

4.3"应用举例

例1：求下列函数在零点的留数.

（1）sinz-zz4sinz；（2）z2（1-ez2）3.

解：0为孤立奇点，且函数为偶函数，由推论1留数均为0.

例2：求下列函数在无穷远点的留数.

（1）e1z2；（2）z21+z4.

解：∞为孤立奇点，且函数为偶函数，由定理7留数均为0.

4.4"定理8

设f（z）=P（z）Q（z）为奇的有理分式，其中P（z）=c0zm+c1zm-1+…+cm（c0≠0）与Q（z）=b0zn+b1zn-1+…+bn（b0≠0）为互质多项式，且符合条件：

（1）n-m≥2；（2）在实轴上Q（z）≠0.则有

∑Imak＞0Res［f（z），ak］=0，其中ak为f（z）所有位于上半平面的有限孤立奇点.

证：根据已知条件和留数定理在实积分上的应用可知，2πi∑Imak＞0Res［f（z），ak］=∫+∞-∞f（x）dx，由于f（z）为奇函数，f（x）也为奇函数，故∑Imak＞0Res［f（z），ak］=0.

结语

通过本文的研究可以发现，奇偶复变函数在积分、导数和留数等方面都具有特殊的性质.这些性质与实变量函数相比，既有联系也有明显的区别.若能灵活掌握相关特性，可以深化学生对复变函数奇偶性的认识和理解，提高学生的解题能力，进一步促进“复变函数论”的教学.

参考文献：

［1］陈永衡，王有德，徐洪香.第二类曲线积分、复变函数积分的一个性质［J］.辽宁工学院学报，2003（02）：6970.

［2］吴君，刘易成.复积分的对比教学初探［J］.湘南学院学报，2010，31（05）：4446.

［3］孟泽红.对称性在求解第一型和第二型曲线积分上的区别［J］.科技创新导报，2018，15（14）：242243.

［4］于亚萍，李杰，郑亚勤.一类函数留数计算的两个简化方法［J］.牡丹江教育学院学报，2006（06）：128130.

基金项目：西南科技大学龙山人才项目（18LZX655）

作者简介：万莉莉（1982—"），女，汉族，四川泸州人，博士，副教授，从事非线性分析研究。