一道2024年高中数学联赛预赛题的解法赏析及思考

基金项目：安徽合肥市教育信息技术2023年度课题“智慧课堂下利用GGB培养高中生数学探究能力的实践研究”（项目编号：HDJ23017）；合肥师范学院重点教学研究项目“依托国培计划对产教融合卓越教师培养模式的研究”（项目编号：2023zdjyxm02）

1.真题呈现

（2024年高联内蒙古预赛第8题）已知关于x的方程x3－3x+4=0的三个复数根分别为z1，z2，z3，则z1－z22（z2－z3）2（z3－z1）2的值为"""" .

2.解法探究

探求思路1" 给出一元三次方程的三根，可考虑一元n次方程的韦达定理处理此题.

解法1" 因z1，z2，z3是方程x3－3x+4=0的三个复数根知，故由韦达定理可得

z1+z2+z3=0，

z1z2+z2z3+z3z1=－3，

z1z2z3=－4，且z31－3z1+4=0①，

z32－3z2+4=0②，

z32－3z2+4=0③， ，①-②得z1－z2·z21+z1z2+z22－3=0，∵z1≠z2，∴z21+z1z2+z22－3=0，∴z1－z22=3－3z1z2④.

同理得（z2－z3）2=3－3z2z3⑤，（z3－z1）2=3－3z3z1⑥，④×⑤×⑥得（z1－z2）2（z2－z3）2（z3－z1）2=27（1－z1z2）（1－z2z3）（1－z3z1）=27×［1－（z1z2+z2z3+z3z1）+z1z2z3（z1+z2+z3）－（z1z2z3）2］=27［1+3+（－4）×0－42］ =－324.

探求思路2" 利用韦达定理可解，但在用韦达定理的结论求值时，可采用不同方法简化运算.

解法2" 由韦达定理知z1+z2+z3=0，z1z2z3=－4， 所以z2－z3z3－z1=－z23+z1+z2z3－z1z2=－z23－z23+4z3=－2z23+4z3=－1212－1z3，同理可得（z1－z2）（z2－z3）=－12（12－1z2），（z3－z1）（z1－z2）=－1212－1z1，故z1－z22z2－z32z3－z12=（-12）3（12-1z1）（12-1z2）（12-1z3）另一方面，当x≠0时，x3－3x+4=0，∴41x3－3（1x）+1=41x3－3（1x）+1=41x－1z11x－1z21x－1z3=0，令1x=12，∴12－1z112－1z212－1z3=316，∴（z1－z2）2（z2－z3）2（z3－z1）2=－324.

探求思路3" 本题借助导数法可以实现多项式次数的降低，从而可以巧妙地解决该题.

解法3 "记f（x）=x3－3x+4=（x－z1）（x－z2）（x－z3），两边对x求导可得3x3－3= （x－z1）（x－z2）+（x－z2）（x－z3）+（x－z3）（x－z1），对上式中的x取z1，z2，z3，得3（z21－1）=（z1－z2）（z1－z3），3（z22－1）=（z2－z1）（z2－z3），3（z23－1）=（z3－z1）·（z3－z2），三式相乘得27（z21－1）（z22－1）（z23－1）=－（z1－z2）（z2－z3）（z3－z1）2，而（z21－1）（z22－1）（z23－1）=（1－z1）（1－z2）（1－z3）（－1－z1）（－1－z2）（－1－z3）= f（1）f（－1）=2×6=12，∴（z1－z2）2（z2－z3）2（z3－z1）2.

探求思路4" 在计算目标式的值时，可以考虑利用行列式来进行计算，则运算比较简单.

解法4" 由韦达定理∑z1=0，∑z1z2=－3，z1z2z3=－4，∑z21=∑z12－2∑z1z2=6，根据范德蒙德行列式可知P=z1－z22z2－z32z3－z12=111

z1z2z3

z21z22z23

=113

z1z2z1+z2+z3

z21z22z21+z22+z23

=113

z1z20

z21z226=3（z1－z2）（z1z2+2），对其两边平方得P2=9（z1－z2）2（z1z2+2）2=9z1+z22－4z1z2z1z2+22=9－z32－4－4z3·－4z3+22=10816z33－12z23+1，注意到z33－3z3+4=0，∴－3z23+4z33=－1，所以P2=108×－4+1=－324.

3.一般性推广

结论1" 已知关于x的方程x3+px+q=0的三个复数根分别为z1，z2，z3，则（z1－z2）2（z2－z3）2（z3－z1）2的值为－27q2－4p3.

证明" 记f（x）=x3+px+q=（x－z1）（x－z2）（x－z3），∴S=－f′（z1）f′（z2）f′（z3）=－（3z21+p）3z22+p3z23+p=33－p3－z21－p3－z22.－p3－z23=－33×∏3j=1－－p3－zj.∏3j=1－－p3－zj=－33f－－p3f－p3=－33q+2p3－p3·q－2p3－p3=－33q2+427p3=－27q2－4p3.

4.追本溯源

4.1" 教材溯源

此题有三种解法使用了一元三次方程的韦达定理，在学生的认识里似乎超纲了，实际上它来自于人教版必修2第82页：设实系数一元三次方程a3x3+a2x2+a1x+a0=0a3≠0①，在复数集C内的根为x1，x2，x3，可以得到，方程①可变形为a3x－x1x－x2x－x3=0，展开得a3x3－a3x1+x2+x3x2+a3·x1x2+x2x3+x1x3x－a3x1x2x3=0②，比较①②可以得到x1+x2+x3=－a2a3，x1x2+x1x3+x2x3=a1a3，x1x2x3=－a0a3.如果实系数一元四次方程a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0=0a4≠0，在复数集C内的根为x1，x2，x3，x4，那么它们与方程系数之间有什么关系呢？

考题是以此内容为蓝本进行命题的.因此笔者在教学中比较重视对课本内容的使用和挖掘.同时启示我们在竞赛及高考数学备考教学中加强课本的应用和引申很有必要.

4.2" 高考溯源

事实上，只要掌握高次方程韦达定理的规律，则很容易记忆并掌握. 对于三次和四次方程的韦达定理，在高考中早有考查，有着广泛的应用.比如：

例1" （2016年山东高考第12题）设函数f（x）=1x，g（x）=ax2+bxa，b∈R，a≠0，若y=f（x）的图像与y=g（x）的图像有且只有两个不同的公共点Ax1，y1，Bx2，y2，则下列判断正确的是（" ）.

A.当alt;0，x1+x2lt;0，y1+y2gt;0

B.当alt;0，x1+x2gt;0，y1+y2lt;0

C.当agt;0，x1+x2lt;0，y1+y2lt;0

D.当agt;0，x1+x2gt;0，y1+y2gt;0.

解析" 由f（x）与g（x）的图像有且仅有两个不同的公共点ax3+bx2－1=0由连个相异实根x1（重根），x22x1+x2=－ba，x21+2x1x2=0，x21x2=1ax1x2≠0，x1+2x2=0x1=－2b3a，x2=b3a－2b3a2b3a=1a4b3=27a2gt;0bgt;0x1+x2=－b3ay1+y2=1x1+1x2=3a2b当alt;0，x1+x2gt;0，y1+y2lt;0.故选B.

例2" （2015年安徽高考第16题）设x3+ax+b=0，其中a，b都为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是""" .

①a=－3，b=－3;" ②a=－3，b=2;"" ③a=－3，bgt;2;"" ④a=1，b=2.

解析" 设x3+ax+b=0的三个根分别为x0，x1，x2，则x0+x1+x2=0，x0x1+x0x2+x1x2

= a，x0 x1x2 = -bx1 + x2 = -x0 ，x1x2 = x0 2 + ax1，x2是方程x2+x0x+x20+a=0的根；所以，方程x3+ax+b=0仅有一个实根x1，x2是方程x2+x0x+x20+a=0的虚数根，且x0x1x2=－b.故选①③④⑤.