函数最值与不等式恒成立的互相转化探究

已知一个不等式恒成立欲求其相关的参数范围是一类常见的函数应用问题，其解题策略就是通过对不等式的代数变形，使之转化为求一个新函数的最值问题.与对应的是已知函数的最值求其式子中参数的值问题，其解题策略是将函数式变形为不等式恒成立问题，再转化其一个新函数的最值.这两类问题的解决就是两个数学概念之间的不断转换，通过对函数的最值与不等式恒成立的辩证使用，达到化简问题、变难为易的解题目的.本文通过对其中几个典型题目进行分析探究，展示问题转化的常规策略与核心要点，供参考.

1.用求函数的最值解决不等式恒成立问题

1.1" 参数分离法

例1" 已知x=2是函数f（x）=13x3－bx2+2x+a的一个极值点.（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若不等式f（x）－a2gt;23对x∈［1，3］恒成立，求实数a的取值范围.

解析" （Ⅰ）因为x=2是函数f（x）=13x3－bx2+2x+a的一个极值点，由于f′（x）=x2－2bx+2，所以x=2是方程x2－2bx+2=0的一个根，回代得b=32.令f′（x）=x2－3x+2gt;0，解之得xlt;1或xgt;2，故函数的单调递增区间为（－∞，1）和（2，+∞）.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x∈（1，2）时f′（x）lt;0，x∈（2，3）时f′（x）lt;0，所以函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增.于是f（2）是函数f（x）在区间［1，3］上的最小值，容易知道（－1，3）.故当x∈［1，3］时，要使不等式f（x）－agt;23恒成立，只需f（2）gt;a2+23， 即23+agt;a2+23，解得 0lt;alt;1.

点评" 对不等式恒成立的条件，可以理解为：若agt;f（x）恒成立，则agt;［f（x）］max；若alt;f（x）恒成立，则alt;［f（x）］min，其中顺利分离不等式式中参数是解题关键.

1.2" 分类讨论法

例2" 若当x≥0时，有不等式ax2+x+1－ex≤0恒成立，求实数a的取值范围.

解析" 由于恒不等式可变形为：ex≥ax2+x+1，容易证明：当x≥0时，ex≥x+1，故a≤0时符合要求，故只需研究agt;0时的范围即可.故当agt;0时，ex≥ax2+x+1，即为x≥ln（ax2+x+1），即x－ln（ax2+x+1）≥0，现令g（x）=x－ln（ax2+x+1），则g（0）=0，又令g′（x）=1－2ax+1ax2+x+1=ax2+（1－2a）xax2+x+1gt;0，注意到x≥0，得xgt;2a－1a且x≥0，（i）当2a－1agt;0，

agt;0， 即agt;12时， 容易得到g（x）在（0，2a－1a）上单调递减，在（2a－1a，+∞）上单调递增，故［g（x）］min=g（2a－1a）lt;g（0）=0，不符合g（x）≥0；（ii）当2a－1a≤0，

agt;0， 即0lt;a≤12时，则x≥0，所以函数g（x）在［0，+∞）上为单调递增，于是有g（x）≥g（0）满足题意.综合上述结论可得，实数a的取值范围是（－∞，12］.

点评" 由于题中给出的不等式是超越不等式，如果采用直接分离参数，问题会变得更加复杂，可能无法继续下去.而通过采用对参数分类讨论法解决，就能降低求解的难度.

1.3" 同构变形法

例3" 已知函数f（x）=aex+1，g（x）=lnxa－1（agt;0），若f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，试求实数a的取值范围.

解析" 由f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，即对任意x∈（0，+∞）都有aex+1－lnxa+1≥0，而此不等式即为ex+lnx+1≥lnx－lna－1，也就是ex+lnx+1+x+lna+1≥lnx+elnx.若设h（x）=ex+x，由于h′（x）=ex+1gt;0恒成立，所以h（x）在R上是单调增函数，由以上分析知h（x+lna+1）≥h（lnx），所以x+lna+1≥lnx，于是lna≥lnx－x－1.再令φ（x）=lnx－x－1，则φ′（x）=1－xx，由此知，函数φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以函数φ（x）有最大值φ（1）=－2，所以lna≥－2，即a≥1e2，所以实数a的取值范围是［1e2，+∞）.

点评" 通过挖掘不等式的特殊结构，并变形出一个特殊的不等式关系，然后再通过同构一个新函数，并顺利地分离了参数，从而使原来的问题得到了简化.

2.将函数最值转化为恒成立问题

若已知一个含参数的函数式的最值，我们可以将它看成是一个含参数的不等式恒成立问题，然后通过分离参数将函数式进行转化，用一个新的函数式将参数表示出来，这样一个新函数的最大值就是所求的参数值，如此就解决了求值问题.

2.1" 直接构造函数

例4" 已知函数f（x）=lnx+x+mx的最小值3，求实数m的值.

解析" 因为函数f（x）的最小值为3，也就是不等式lnx+x+mx≥3恒成立，且存在xgt;0使等号成立，可变形m≤3x－x2－xlnx恒成立，且存在xgt;0使等号成立，所以m=（3x－x2－xlnx）max，下面就是如何求此函数的最大值．设g（x）=3x－x2－xlnx，则g′（x）=3－2x－（lnx+1）=2－2x－lnx，易知此函数为减函数，又g′（1）=0，所以在（0，1）上g′（x）gt;0，在（1，+∞）上g′（x）lt;0，所以函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，则g（x）有最大值g（1）=2，故m=2.

点评" 本题中通过进行参数分离，将函数最小值问题变成了不等式恒成立问题，然而参数的值就是某个函数的最大值.由于表达式简洁，采用直接设为新函数，再求其最大值.

2.2" 转化构造函数

例5" 设函数f（x）=12tx2+lnx，⑴求f（x）单调区间；⑵若f（x）在（0，1］上的最小值是－1，求实数t的值.

解析" ⑴由于函数的定义域是xgt;0，由于f′（x）=tx+1x，下面对参数讨论解决.

当t=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当tlt;0时，令tx+1xgt;0，得x2lt;－1t，又xgt;0，所以0lt;xlt;－1t，于是f（x）在（0，－1t）上单调递增，在（－1t，+∞）单调递减；当tgt;0时，又由于xgt;0，所以f′（x）gt;0恒成立，于是f（x）在（0，+∞）单调递增.

⑵由于f（x）在（0，1］上的最小值是－1，也就是12tx2+lnx≥－1在（0，1］上恒成立．即t≥－2（1+lnx）x2在（0，1］上恒成立，所以t=［－2（1+lnx）x2］max，令h（x）=1+lnxx2，则h′（x）=－1－2lnxx3，令h′（x）=0，得x=1e，又当x∈（0，1e）时，h′（x）lt;0，当x∈（1e，1］时，h′（x）gt;0，所以函数h（x）有最小值g（1e）=12e，于是［－2（1+lnx）x2］max=－e，所以实数t=－e.

点评" 由于不等式变形转化后，关于参数的表达式有些复杂，通过设一个与此相关的新函数并求出最小值，从而顺利解决了原式的最大值，这样就简化了解题过程.

2.3" 分别构造函数

例6" 已知函数f（x）=（ex－ax）（lnx+1x2）+1的最小值为e，求实数a的值.

解析" 由于函数f（x）的的最小值为e，所以（ex－ax）（lnx+1x2）+1≥e恒成立，且存在xgt;0使等号成立，即a≤exx－e－1xlnx+1x恒成立，且存在xgt;0使等号成立，则a=（exx－e－1xlnx+1x）min.令g（x）=exx，则g′（x）=ex（x－1）x2，当x∈（0，1）时，g′（x）lt;0；当x∈（1，+∞）时，g′（x）gt;0，所以g（x）有最小值g（1）=e.令h（x）=xlnx+1x，则h′（x）=lnx+1－1x2，再令φ（x）=lnx+1－1x2，则φ′（x）=1x+2x3=1x（1+2x2），由于xgt;0，所以φ′（x）gt;0恒成立，即φ（x）是（0，+∞）上的单调增函数，又φ（1）=0，所以当x∈（0，1）时，h′（x）lt;0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）gt;0，则h（x）有最小值h（1）=1，所以－e－1xlnx+1x有最小值－（e－1），于是（exx－e－1xlnx+1x）min=1，即a=1.

点评" 通过分别设两个函数，分别求其最值，减轻了解题困难，必须注意所设的两个函数是在同一个x处取得最小值，所以两个函数的最小值的和就是原来函数的最小值.

虽然说不等式恒成立与函数的最值是两个不同的数学概念，但在解决某个数学问题时可以进行相互转化，这就是数学解题精妙之处，高中数学中的解题中有许多这样精彩.