对一道函数双动点高考模拟题的研究

2024届广东省高三第五次六校联考数学第14题是一道典型的求两个不同函数的图象上双动点之间的距离最值问题，本文从以下几个方面研究该试题.

1.试题呈现

题目" 已知A（x1，y1），B（x2，y2）分别是f（x）=mxex+x－ln（mx）和g（x）=2x－1图象上的动点，若对任意的mgt;0，都有|AB|a恒成立，则实数a的最大值是""" .

2.解法探究

分析1" 首先通过两个函数的差函数并运用对数切线不等式确定这两个函数图象的位置关系，然后利用导数研究函数f（x）的凹函数的变化趋势，并判断中导函数的隐零点处函数f（x）的图象达到最低点，此时点A到直线y=2x－1的距离即为|AB|的最小值，且点A处的切线平与直线y=2x－1平行，最后利用导数的几何意义求解即可.

解法1" 令h（x）=f（x）－g（x）=mxex+x－lnmx－2x－1=mxex－x－lnmx+1=mxex－xlne－lnmx+1=mxex－lnex－lnmx+1=mxex+1－lnmxex.根据对数切线不等式“lnx≤x－1，当且仅当x=1时取等号”，可得lnmxex≤mxex－1，于是h（x）mxex+1－mxex－1=2gt;0，故当xgt;0时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方.点A到直线y=2x－1的距离为d，则|AB|d.由f（x）=mxex+x－ln（mx），得f′（x）=mex1+x+1－mmx=mex1+x+1－1x.

令f′x0=0，则当x∈0，x0时，f′（x）lt;0，f（x）单调递减，当x∈x0，+

SymboleB@ 时，f′（x）gt;0，f（x）单调递增，因此函数f（x）为凹函数.

设f（x）在点A（x1，y1）处的切线与直线y=2x－1平行.令mex11+x1+1－1x1=2，所以mex11+x1－1－1x1=0，所以mex11+x1－1+x1x1=0，所以1+x1mex1－1x1=0，即mex1=1x1，即mx1ex1=1，而结合函数y=ex与y=1mx的图象可知mx1ex1=1有正数解x1，所以mx1=1ex1=e－x1，则此时点A（x1，mx1ex1+x1－ln（mx1））到直线2x－y－1=0的距离d=|2x1－mx1ex1－x1+ln（mx1）－1|" 22+12=|2x1－1－x1+lne－x1－1|" 5=|2x1－x1－x1－2|" 5=2" 5=2" 55，即|AB|min=2" 55.

因为对任意的mgt;0，都有|AB|a恒成立，所以a≤2" 55.故实数a的最大值为2" 55.

分析2" 首先把点A看作定点，则点A到直线y=2x－1的距离d即为|AB|的最小值，然后把点A看作动点，求出求d的最小值即可.

解法2" 由解法1可知，当xgt;0时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方.

因为A（x1，y1）在f（x）=mxex+x－ln（mx）图象上，所以y1=mx1ex1+x1－lnmx1，所以点A到直线y=2x－1，即2x－y－1=0的距离d=|2x1－y1－1|" 22+12=|2x1－y1－1|" 5=|2x1－mx1ex1－x1+lnmx1－1|" 5=|x1+lnmx1－mx1ex1－1|" 5=|lnmx1ex1－mx1ex1－1|" 5，则|AB|mind.

根据对数切线不等式“lnx≤x－1，当且仅当x=1时取等号”，可得lnmxex≤mxex－1，于是lnmx1ex1－mx1ex1－1≤mx1ex1－1－mx1ex1－1=－2，所以|lnmx1ex1－mx1ex1－1|2，所以d2" 5=2" 55，当且仅当mx1ex1=1时，d有最小值为2" 55.而结合函数y=ex与y=1mx的图象可知mx1ex1=1有正数解x1，所以|AB|min=2" 55.

因为对任意的mgt;0，都有|AB|a恒成立，所以a≤2" 55.故实数a的最大值为2" 55.

分析3" 利用导数研究A（x1，y1）到直线y=2x－1，即y－2x+1=0的距离d的最小值，则由题意可知|AB|d，然后求解即可.

解法3" 点A（x1，y1）到直线y=2x－1，即2x－y－1=0的距离d=|y1－2x1+1|" 22+12=|y1－2x1+1|" 5，则|AB|d.y1－2x1+1=mx1ex1+x1－lnmx1－2x1+1=mx1ex1－lnmx1－x1+1=ex1+lnmx1－（x1+lnmx1）+1.令t=x1+lnmx1，则由mgt;0可知t=x1+lnmx1在0，+

SymboleB@ 上单调递增，且当x1→0时，t→－

SymboleB@ ；当x1→+

SymboleB@ 时，t→+

SymboleB@ ，所以t∈R.令F（t）=et－t+1，则f′t=et－1，当tlt;0时，f′tlt;0；当tgt;0时，f′tgt;0，所以函数F（t）在－

SymboleB@ ，0上单调递减，在0，+

SymboleB@ 上单调递增，所以F（t）min=F0=2，所以ABd=y1－2x1+1" 52" 55.因为对任意的mgt;0，都有|AB|a恒成立，所以a≤2" 55.故实数a的最大值为2" 55.

3.同型考题

例1" （2024届合肥市六校期考8）点P，Q分别是f（x）=3x－4和g（x）=x2－2lnx上的动点，则|PQ|2 的最小值为（" ）.

A.35（2+ln2）2" B.35（2－ln2）2

C.35（1+ln2）2"" D.35（1－ln2）2

简解" 由g（x）=x2－2lnx，得g′（x）=2x－2x=2（x+1）（x－1）x，当x∈0，1时，g′（x）lt;0，g（x）单调递减，当x∈1，+

SymboleB@ 时，g′（x）gt;0，g（x）单调递增，所以g（x）是凹函数.设g（x）在点x=x0处的切线与y=3x－4平行，则由2x0－2x0=3，解得x0=2，所以切点2，4－2ln2到直线y=3x－4的距离即为|PQ|的最小值，且最小值为|3×2－4+2ln2－4|" 32+（－1）2=|2－2ln2|" 10，所以|PQ|2=35（1－ln2）2.故选D.

例2" （2024届日照市二模14）在同一平面直角坐标系中，M，N分别是f（x）=－" －x2+4x－3和函数g（x）=ln （ax）－axex图象上的动点，若对任意agt;0，有|MN|m恒成立，则实数m的最大值为""" .

图1

简解" 由y=f（x）=－" －x2+4x－3整理得（x－2）2+y2=1（y≤0），即M在圆心2，0，半径为1的半圆上.g（x）=lnax－axex=lnax－ex+lnax，令h（x）=x－ex，x∈R，则h′（x）=1－ex，又h′0=1－e0=0，所以当x∈－

SymboleB@ ，0时，h′（x）gt;0，h（x）单调递增，当x∈0，+

SymboleB@ 时，h′（x）lt;0，g（x）单调递减，综上可知，h（x）在x=0处取得极大值，也是最大值，即h（x）≤h0=－1，于是x+ln（ax）－ex+lnax≤－1，即g（x）=lnax－axex≤－x－1，由图1可知，当M，N分别对应切点，且MN与两切线垂直时|MN|取得最小值，即|MN|的最小值为圆心到直线y=－x－1的距离减去半径，亦即|MN|的最小值为|2+0+1|" 12+12－1=3" 22－1.过圆心2，0与y=－x－1垂直的直线方程为y=x－2，所以当且仅当x+lnax=0，y=x－2，y=－x－1，即a=2e－12，x=12，y=－32时取到最小值.综上，|MN|3" 22－1.因为若对任意agt;0，有|MN|m恒成立，故m的最大值为3" 22－1.