一道女奥选拔赛不等式题的解法探究

文章对2024年浙江省女子奥林匹克选拔赛第1题进行详细分析，并从不同角度给出5种解法.

题目" 设α，β，γ∈（0，π2），满足sin2α+sin2β+sin2γ=1，求使得∑cycsinαsin2β+sin2γ≤22+λ（sinα+sinβ+sinγ）最小的实数λ.

解法1"" 当sinα=sinβ=sinγ=33时，解得λ≥66，故只需证明当λ=66时，不等式成立，即证∑cycsinαsin2β+sin2γ≤22+66∑cycsinα.

由sin2α+sin2β+sin2γ=1，可得sin2β+sin2γ=1－sin2α.

由均值不等式得∑cycsinαsin2β+sin2γ=∑cycsinα1－sin2α=∑cycsinα4－（3sin2α+1）3≤∑cycsinα4－23sinα3=∑cyc21×（3sinα）×223sinα（4－23sinα）122≤∑cyc（1×3sinα）×［23sinα+（4－23sinα）］122

=∑cyc（26+66sinα）=26×3+66∑cycsinα=22+66∑cycsinα.

所以使得∑cycsinαsin2β+sin2γ≤22+λ（sinα+sinβ+sinγ）最小的实数λ为66.

评注" 本解法主要是利用均值不等式进行解答，难点是在利用均值不等式时需要较强技巧性的配凑.

解法2"" 当sinα=sinβ=sinγ=33时，解得λ≥66，故只需证明当λ=66时，不等式成立，即证∑cycsinαsin2β+sin2γ≤22+66∑cycsinα.

由sin2α+sin2β+sin2γ=1，可得sin2β+sin2γ=1－sin2α.于是sinαsin2β+sin2γ=sinα1－sin2α.

从而证∑cycsinαsin2β+sin2γ≤22+66∑cycsinα

∑cycsinα1－sin2α≤22+66·∑cycsin2α∑cyc［sinα1－sin2α－66sin2α］≤22.设f（x）=x（1－x）－66x，x∈（0，1），则f″（x）=－14x3（1－x）3+624x3lt;－14x3+624x3=6－624x3lt;0.

故f（x）在（0，1）上是上凸函数，由琴生不等式得∑cyc［sinα1－sin2α－66sin2α］=f（sin2α）+f（sin2β）+f（sin2γ）≤13f（sin2α+sin2β+sin2γ3）=13f（13）=22.所以使得∑cycsinαsin2β+sin2γ≤22+λ（sinα+sinβ+sinγ）最小的实数λ为66.

评注" 该解法是先将不等式等价变形，再构造相应的函数，借助函数的凹凸性，利用琴生不等式将问题解决，解法巧妙，自然.

解法3"" 当sinα=sinβ=sinγ=33时，解得λ≥66，故只需证明当λ=66时，不等式成立，即证∑cycsinαsin2β+sin2γ≤22+66∑cycsinα.

由sin2α+sin2β+sin2γ=1，可得sin2β+sin2γ=1－sin2α.

从而sinαsin2β+sin2γ=sinα·1－sin2α=sinαcos2α=sinαcosα.

先证：sinαcosα≤26+66sinα.设f（α）=sinαcosα－66sinα－26，则f′（α）=2cos2α－66cosα－1，令f′（α）=0，解得cosα=63.当cosα∈（0，63）时，f′（α）gt;0；当cosα∈（63，1）时，f′（α）lt;0，故当cosα=63 ，sinα=33时，f（α）有最大值为f（α）max=33×63－66×33－26=0.所以sinαcosα≤26+66sinα得证.同理可得sinβcosβ≤26+66sinβ，sinγcosγ≤26+66sinγ.

从而∑cycsinαsin2β+sin2γ=∑cycsinα1－sin2α=∑cycsinαcosα≤26×3+66∑cycsinα=22+66∑cycsinα.所以使得∑cycsinαsin2β+sin2γ≤22+λ（sinα+sinβ+sinγ）最小的实数λ为66.

评注" 该解法是利用三角恒等变换得到sinαsin2β+sin2γ=sinαcosα，再利用导数证明局部不等式sinαcosα≤26+66sinα.

解法4"" 当sinα=sinβ=sinγ=33时，解得λ≥66，故只需证明当λ=66时，不等式成立，即证∑cycsinαsin2β+sin2γ≤22+66∑cycsinα.

先证：12∑cycsinαsin2β+sin2γ≤22.①

由均值不等式得

12∑cycsinαsin2β+sin2γ=24∑cyc2sin2αsin2β+sin2γ≤24∑cyc12［2sin2α+sin2β+sin2γ］=24∑cyc12［sin2α+（sin2α+sin2β+sin2γ）］=24∑cyc12［sin2α+1］=28（3+∑cycsin2α）=22.再证：12∑cycsinαsin2β+sin2γ≤66∑cycsinα②.由α，β，γ∈（0，π2），可设a=sinα，b=sinβ，c=sinγ，则∑cyca2=1.

故12∑cycsinαsin2β+sin2γ≤66∑cycsinα12∑cycab2+c2≤66∑cyca∑cycab2+c2≤63∑cyca.

不妨设a≥b≥c，则a2+b2≥c2+a2≥b2+c2.

由切比雪夫不等式及柯西不等式得∑cycab2+c2≤13∑cyca∑cycb2+c2≤13（∑cyca）（3∑cyc（b2+c2））=136（a2+b2+c2）（∑cyca）=63∑cyca.

①②两式相加得∑cycsinαsin2β+sin2γ≤22+66∑cycsinα.

所以使得∑cycsinαsin2β+sin2γ≤22+λ（sinα+sinβ+sinγ）最小的实数λ为66.

评注" 该解法的思路巧妙，是通过证明两个局部不等式来解决原问题，其中第二个局部不等式是该解法的难点.

解法5"" 由∑cycsinαsin2β+sin2γ≤22+λ（sinα+sinβ+sinγ），得λ≥∑cycsinαsin2β+sin2γsinα+sinβ+sinγ－22（sinα+sinβ+sinγ）.

不妨设α≥β≥γ，则sinα≥sinβ≥sinγ，且sin2α+sin2β≥sin2γ+sin2α≥sin2β+sin2γ.

由切比雪夫不等式及柯西不等式得∑cycsinαsin2β+sin2γ≤13∑cycsinα∑cycsin2β+sin2γ≤13（∑cycsinα）（3∑cyc（sin2β+sin2γ））

=136（sin2α+sin2β+sin2γ）（∑cycsinα）=63∑cycsinα.

所以∑cycsinαsin2β+sin2γsinα+sinβ+sinγ≤63.

由柯西不等式得∑cycsinα≤3∑cycsin2α=3，故22（sinα+sinβ+sinγ）≥223∑cycsin2α=223=66，即得－22（sinα+sinβ+sinγ）≤－66.

从而得∑cycsinαsin2β+sin2γsinα+sinβ+sinγ－22（sinα+sinβ+sinγ）≤63－66=66.

所以λ≥66，即最小的实数λ为66，当且仅当sinα=sinβ=sinγ=33时，等号成立.

评注" 该解法思路直观，其解题思路是分离参变量，利用切比雪夫不等式及柯西不等式能快速摆脱根式的束缚，解题过程也较为简洁.