貌合神离的条件概率与积事件概率

条件概率与积事件的概率是概率重点和难点，一直是教学中的困顿点，学生经常把积事件的概率与条件概率搞混淆，还不容易发现错误，究其原因，无非是没有理解条件概率与积事件概率之间的区别与联系.

1.情景导入

典例" 一个密码锁的密码有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个.小明忘记了密码的最后一位数字，求任意按最后一位数字，第一次按错，第二次按对的概率.

题目的意思是一共按了二次，第一次按错了，第二次才按对，记Ai（i=1，2）表示第i次按对的事件，事件A2发生是事件A1发生的条件下再发生，还是两个事件同时发生？这是很多师生弄不明白的一个问题.

2.分析问题

图1

要解决这个问题我们先回顾相关的概念.

一般地，事件A事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作A∩B （或AB）.可以用图1中的阴影区域表示这个交事件.

含义是A与B同时发生，符号语言记作A∩B 或AB.

事件A与B同时发生的概率称为积事件的概率，记作P（AB）.

一般地，设A，B为两个随机事件，且P（A）gt;0，我们称P（B|A）=P（AB）P（A）为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.

条件概率和积事件的概率是指两个事件发生的概率，要厘清两个事件发生的概率到底是条件概率还是积事件概率，关键是要弄清，做这个随机试验之前是不是已经知道试验的第一个事件发生的结果.如果是不知道第一个事件发生的结果，那么这两个事件发生的概率就积事件的概率，如果知道，那就是条件概率.

情景中，这个随机试验是指按两次密码，在按密码之前，我们是不能确定第一次按对还是按错的，故第一次按错、第二次按对的概率就是指第一次按错和第二次按对同时发生的概率，记Ai（i=1，2）表示第i次按对的事件，故PA1A2=110.

但有很多学生还是不能从概念上深刻的理解，常常误认为第一次按错是第二次按对的条件.我们除了加强对概念的辨析以外，我们还可以借助样本空间来辅助理解.

题意是连续按两次， 相当于从 0～9 的 10 个数字中先后取出两个不同数字， 这样样本空间 Ω 的基本事件总数为 10×9=90 个， 就按对和按错而言，有三种情况： （ 错， 错）， （错， 对）， （对， 错）.其中第一类有 9×8=72 种结果，第二类有 9×1=9 种结果，第三类有 1×9=9 种结果.第二次才按对是上面三类情况中的第二类， 也就是说第一次按错并不是试验前已经发生的， 而是与第二次按对是同时发生的.因此，它不是条件概率，而是积事件概率.

如果题目改成“第一次按错的条件下，求第二次按对”的概率，那么在试验开始前就已经知道 “第一次按错”的这个实事.这样样本空间就由{（错，错），（错，对），（对，错）} 三类缩小为{（错，错），（错，对）}两类，因此这里所求的概率是在第一次按错后剩下的数字中再按对的概率， 即这里所求的概率是附加了条件的事件的概率.根据条件概率的定义， 求“在第一次按错的条件下， 第二次按对”的概率才为条件概率.

因此，“第二次按对” 与 “第一次按错的条件下， 第二次按对”的概率是有本质区别的， 前者属于积事件概率，后者属于条件概率.

典例再探" 小明上楼每一步走1级台阶或2级台阶是随机的，且走1级台阶的概率为23，走2级台阶的概率为13，小明从楼梯底部开始往上走.

（1）求小明走3步上到第4个台阶的概率；

（2）小明上到第4级台阶，求他是走了3步的上来概率.

分析" 小明上楼梯走1级台阶还是走2级台阶是随机的，走3步可以到达3，4，5，6级台阶，仅从走了3步是不能确定最后在哪个台阶的.同样到达第4个台阶小明可以是随机的走了2，3，4步上来的.

（1）中小明随机的走了3步，走了几个1步几个2步是不确定的，即试验前上到第4个台阶是不确定的，故走3步和到达第4个台阶是同时发生的，故是积事件.

解" 设事件A为“小明走了3步”，事件B为“小明上到第4级台阶”，走了3步上到第4级台阶即走了2次1级台阶和1次2级台阶，则概率P=C13×13×（23）2=49，即PAB=49.

（2）中已知小明上到了第4级台阶，再来求小明走了3步的概率，说明试验前就知道了结果，这个上到第4级台阶就是小明走了3步的条件了，故这是条件概率的问题.

解" 设事件A为“小明上到第4级台阶”，事件B为“小明走了3步上到第4级台阶”，事件A包含3中情况，①走了4次1级台阶，其概率P1=（23）4=1681；

②走了2次1级台阶，1次2级台阶，其概率P2=C13×13×（23）2=49；

③走了2次2级台阶，其概率P3=（13）2=19.故小明上到第4级台阶概率PA=P1+P2+P3=1681+49+19=6181.

所以在小明上到第4级台阶的条件下，他走了3步的概率PBA=PABPA=3661.

方法提炼

（1）辨析条件概率P（B|A）是指已知A发生的条件下，B发生的概率，试验前就明确了A发生了.而积事件概率P（AB）是指A与B同时发生的概率，试验前不能确定A是否发生了.

（2）值得注意的是，积事件概率P（AB）中的两事件A，B不一定独立，若独立，则

P（B|A）=P（B），此时P（AB）=P（A）P（B）;若不独立，则P（AB）=P（A）P（B|A）.计算中应注意，P（AB）是在原样本空间Ω中求解的，而P（B|A）是在缩小的样本空间A中求解的.

3.链接考试

例1" 袋中有6个黄色和4个白色的乒乓球，不放回抽取，每次任取1个球，连续取2次，则第2次才取到黄球的概率为.

析解" 这个试验是连续取2次，要求第2次才取到黄球的概率. 这个“才”字如何理解？关键还是厘清试验之前是否能确定第一摸球摸到什么颜色？如果能确定，那么就是附加了条件的，那就是条件概率了，若不能确定就是积事件概率.相当于在不看第一取到球的颜色，不放回地连续随机取了两次球，两次抽取之后再来看两个球的颜色，结果是第一取到白球，第二次取到黄球，故这个才是指第一次取到白球，第二次取到黄球的情况同时发生的意思. 故这个试验之前我们是不能确定第一次摸球摸到什么颜色的.

设第一次取到白球的事件为A，第二次取到黄球的事件为B，故第2次才取到黄球的概率为P（AB）=P（A）P（B|A）=410×69=415.

评注" 一般地，n件产品中，有m件次品，每次抽取一件，取后不放回，连续抽取i次，记事件Ai为第i次取得正品，则第i次才取得正品的概率为P（A1A2…Ai－1Ai）=P（A1）P（A2|A1）…P（Ai|A1A2…Ai－1）=（mn）（m－1n－1）（m－i+2n－i+2）·（n－mn－i+1），而在前i－1次取得次品的条件下，第i次取得正品的概率为P（Ai|A1A2…Ai－1）=n－mn－i+1.

例2" 为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为34，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为12.（注：比赛结果没有平局）

（1）求甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；

（2）求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；

（3）若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M上场的概率.

析解" （1）事件Aj=“甲队第j局获胜”，其中j=1，2，3，4，Aj相互独立，事件B=“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，又甲队明星队员M前四局不出场，故PAj=12，j=1，2，3，4，B=A1A2A3A4+A1A2A3A4+A1A2A3A4，PB=C13（12）4=316.

（2）设事件C为甲3局获得最终胜利，事件D为前3局甲队明星队员M上场比赛，由全概率公式知，PC=PC|D·PD+PC|·P，因为每名队员上场顺序随机，故PD=C24A33A35=35，P=1－35=25，PC|D=（12）2×34=316，PC|=（12）3=18，所以PC=1380.

（3）由（2）知，PD|C=PCDPC=PC|D·PDPC=316×351380=913.

综上，只有深刻理解了两种概率的区别与联系，方能在实际应用中正确的区分是积事件概率和条件概率.