大概念视域下的数学概念教学探究

【摘要】数学概念的教学是数学教学的核心，直接关系到学生对数学内容本质的理解和数学素养的形成.本文以大概念教学理念为指导思想，以数学人教A版必修第一册第四章第三节的第一小节“对数的概念”为例，进行教学设计，探究数学概念课的教学范式，为高中数学概念教学提供新的思路和参考，促进学生数学核心素养的形成.

【关键词】大概念；高中数学；对数

数学概念是一类事物在空间形式和数量关系上关键属性的抽象，通常用形式化的语言来表达，具有高度抽象的特点（引自章建跃的“数学概念的获得”）.对于数学概念的教学，教师首先应深刻理解概念的本质，上下位关系，以及概念涉及的思想方法和育人价值，然后应抓住概念的关键属性和核心所在，设置适切的情境和启发性的问题，让学生充分体验数学概念的形成过程，引导学生发现概念的内涵和外延.

1大概念理论

大概念可以被界定为反映专家思维方式的概念、观念或论题，具有生活价值.它的大指的是“核心”“高位”或“上位”.大概念的“概念”不仅限于概念，可以表现为概念，也可以表现为观念，还可以表现为论题.数学学科大概念理论是对数学思想方法的升华，能让学生在见到“树木”的同时看到“森林”.

许多国家都已经把大概念写进了课程标准.我国各学科课程标准中均明确提出，重视以学科大概念为核心，使课程内容结构化，以主题为引领，使课程内容情境化，促进学科核心素养的落实.自2017年课程方案和课程标准颁布后，大概念作为单元教学设计的支点，是落实核心素养的关键.重视大概念的教学价值，有助于帮助教师理解“四个理解”中的理解数学，即把握数学内容本质的锚点[1].

2基于大概念理论的概念教学设计

本教学设计以大概念教学理念为指导思想，设置适切的情境、启发性的问题，引导学生思考学习.过程中恰当引入信息技术，展示运算的过程，突破教学难点，帮助学生从本质上理解数学概念.另外，本教学设计渗透对数发展史、对数实际应用等知识，使学生学习数学概念的同时体会到数学的科学价值、应用价值和文化价值.本教学设计的教学实践效果显著，获得了贵阳市第六届优质课一等奖，受评委一致好评[2].

2.1教材内容与解析

本课为人教A版（2019）普通高中教科书数学（必修第一册）第四章第三节“指数函数与对数函数”的第一小节“对数的概念”（1课时），主要内容是对数的概念、对数式与指数式的互化.对数的概念和运算是对数函数学习的基础.对数的本质是一种已知底数和幂值，求指数的运算，同时对数同分数一样，也是一个数.历史上虽然对数比指数先出现，但是为了符合学生认知规律，教材先安排学习指数，在此基础上学习对数[3].

2.2学情分析

从函数角度来说，学生学习了集合、函数的概念、函数的表示方法和函数的一般性质，对函数有了初步的认识.在此基础上又学习了幂函数、指数运算和指数函数，了解了研究函数的一般方法，经历了从特殊到一般、具体到抽象的研究过程.对数的概念对于学生来说是全新的.学生模式化地进行指数式与对数式之间的互化是容易的，但在真正理解对数概念的基础上进行解题仍有一些难度，主要表现在：不理解对数的概念，只能够进行表面的形式转换；不能把“求对数的实质是求指数”应用在数学问题的解决中[4].

2.3教学重点和难点

重点：对数的概念，对数式与指数式的互化.

难点：对数概念的理解.

3教学过程

3.1创设情境，引入新课

学生活动思考，不使用计算器，能否快速求出512×16384的值？

教师活动介绍苏格兰数学家纳皮尔利用表格规律快速运算的方法.

问题1已知底数和幂值如何求指数？

设计意图全国普通高中课程标准及考试大纲明确要求，通过本节课的学习，学生应该了解对数简化运算的功能和对数发展的历史.让学生亲历比较复杂的计算，目的是让学生深刻体会简化运算的重要性，然后自然引出对数发展的数学史，吸引学生，使课堂更丰富的同时，让学生体会引入对数的必要性.

教师活动用PPT播放“加减法、乘除法、乘方开方”这三组互为逆运算的运算过程动画，引导学生发现，在乘法运算中，为了求乘法中的乘数，引入了除法运算，在指数运算中，已知指数和幂值要求底数，引入了开根运算，

问题2今天我们遇到了新问题，2x=5，已知底数和幂值，要求指数，该怎么办呢？

学生活动观察一组运算的过程，发现有必要引出一种与指数运算互逆的运算.

设计意图通过加与减、乘与除、乘方与开方运算的过程，自然过渡到指数运算到对数运算，目的是无形中给学生提示：对数运算解决的问题是指数式中已知底数和幂值，求指数；对数的本质是指数运算的逆运算.让学生在实例中亲自感受，比直白的强调更有意义.

3.2合作交流，探究新知

问题3首先思考，在2x=5中，指数x存在吗？

设计意图解方程问题首先要确定方程是否有解，确定有解才研究求解问题，力求问题环环相扣，逻辑严谨，符合数学研究的步骤和习惯.

（1）阅读课本122页，对数的定义，回答：

①对数可以解决什么问题？

②对数的定义是什么？

③对数中，a，N，x叫什么？每个字母取值范围是什么？

④在对数中，有哪两类特殊对数？

设计意图锻炼学生的独立思考和自主学习的能力.

（2）观察对数式和指数式的对应关系，如图1.

设计意图让学生认清对数式logaN=x的含义；明确a，N，x在对数式中的名字，并认识到指对互换过程中的变化.

（3）明确两种特殊对数.

常用对数log10N，记为lgN.

自然对数logeN，记为lnN（e=2.71828…）

设计意图数学中常见的两类对数，其中以10为底的符合学生学习习惯，也符合日常习惯，而以e为底的在高中阶段很难说清楚.实际上，e是非常伟大的数，在科技、经济以及社会方面都有许多应用.

（4）强调对数的书写格式.

3.3例题讲解，强化应用

例1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.

（1）5⁴=625；（2）2^－6=1/64；（3）（1/3）^m=5.73；（4）log_1/216=－4；（5）lg0.01=－2；（6）ln10=2.303.

设计意图本例题难度不大，目的是强化学生对对数概念的理解，掌握指数式与对数式之间的互化.（2）（3）让学生黑板上书写，方便提醒规范书写.

练一练求下列各式的值（口答）.

（1）log525；（2）log₂1/16；（3）log_a1；（4）log_aa（其中agt;0且a≠1）.

设计意图通过本题的练习，让学生进一步体会求对数的值可借助指数式解决.通过题（3）（4）可以在练习过程中自然引出对数的两个重要结论.

3.4作业布置

必做课本P64练习4P74A组1，2题.

选做题巩固提高练习，班长处领取.

设计意图针对学生的学习水平层次进行分类，目的是因材施教，使不同层次的学生都可以获得相应的练习和提高.

4结论与启示

4.1重视大概念的指导思想，帮助学生获得概念学习的一般路径

概念学习的一般路径为：首先，为什么学概念？了解学习一个数学概念的必要，该数学概念能解决什么问题.其次，理解要学习的概念是什么？是什么即抓住概念的关键属性，理解概念的本质.最后，解决怎么学？概念的学习通常包括学习概念的名称、定义、符号表示、属性、和例子应用.

本节“对数”的概念学习，教学设计中首先设置问题情境，让学生不使用计算器进行较大数的运算，接着思考已知底数和幂值求指数，感受运算方法不够用，有必要引入一种新的过程.这就解决了为什么学的问题.其次，通过观察运算的发展，以及自主阅读对数的定义，使学生理解对数的本质是一种运算，同时对数也是一个数.最后，通过回答自主阅读的问题，循序渐进，掌握对数这一概念.

4.2重视阅读教材，提升学生自主阅读能力

教材集聚了基础教育专家的智慧，精练准确.对于一个数学问题，几乎没有资料比教材解释得更精准，利用好教材，学生的学习事半功倍，在困惑遗忘时还可以及时翻看巩固.实际上，无论是从高考的趋势看，还是学生能力提升以及后续发展的角度，阅读教材的意义远不止于此，阅读既是素养，更是未来学生进行课题研究必备的能力[5].

5结语

通过对“对数的概念”这一数学概念的教学设计与实践，我们深刻体会到了大概念教学理念在数学概念教学中的重要性和有效性.大概念不仅为学生提供了更为宽广的数学视野，还帮助他们建立数学知识之间的联系，从而更好地理解和应用数学概念.在教学过程中，注重情境的创设和问题的引导，让学生充分体验数学概念的形成过程，从而更深刻地理解概念的本质.同时，也重视学生的自主学习和合作交流，通过阅读和讨论等方式，提升他们的数学素养和综合能力.信息技术的融合也为教学带来了新的活力.通过多媒体的动态演示，可以将抽象的数学概念变得直观具体，方便学生类比学习和理解.这种教学方式不仅提高了学生的学习效率，还激发了他们的学习兴趣和探究欲望.大概念视域下的数学概念教学是一种有效的教学方式，它有助于学生更好地理解和掌握数学概念，提升他们的数学素养和综合能力.在未来的教学中，我们将继续探索和实践这一教学理念，为学生的数学学习和发展贡献更多的智慧和力量.同时，也希望更多的教师能够加入这一教学改革的行列中来，共同推动数学教育的发展和进步.

参考文献：

［1］李静.问题驱动，自主生成，引领发展——《对数概念》新授教学过程与反思[J].教育研究与评论（中学教育教学），2016（07）：15-20.

[2]侯斌，王华民.让数学史真正融入概念教学中——由一堂“对数”概念课引发的思考[J].中学数学，2014（19）：69-71.

[3]王弟成.化静为动化知为识——对数的概念教学思考[J].数学教学研究，2015，34（01）：23-26.

[4]韩艺通.基于核心素养的概念课型教学探究——以“对数的概念”的教学为例[J].中小学数学（高中版），2022（Z2）：77-81.