三角函数的单调性与最值问题研究

【摘要】三角函数作为高中数学的重要内容，其单调性和最值问题一直是学生学习的难点和考试的热点.本文探讨三角函数的单调性与最值问题，通过分析三角函数的单调性，讨论通过三角函数的性质找到三角函数的最值，帮助学生拓展思维，提升核心素养．

【关键词】三角函数；单调性；高中数学

三角函数在数学和生活中具有广泛的应用，而其单调性和最值问题则是研究三角函数的重要方面，也是学生学习高等数学和应用数学的基础.通过深入研究和理解三角函数的单调性和最值问题，学生可以更好地理解三角函数的性质，确定其在给定区间内的最值．

1深入研究和理解三角函数

1.1理解基本概念

学生需要深入理解三角函数的基本概念，三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们都有自身的定义域、值域和周期性.只有对基本概念有清晰的理解，才能进一步研究其单调性和最值.如，理解三角函数的周期性有助于在解决三角函数的单调性和最值问题时，更快地找到规律和特点.正弦函数和余弦函数的周期都是2π，而正切函数的周期是π.又如，通过对三角函数求导数，可以得到其在某个区间内的单调性.

1.2掌握图象特点

观察三角函数的图象是理解其单调性和最值问题的关键.通过观察三角函数的图象，可以直观地了解三角函数的周期性、奇偶性以及单调性.此外，还可以发现函数在特定区间内的最大值、最小值和极值点.这为进一步分析三角函数的单调性和最值问题提供了有力的依据.通过观察图象，可以快速解决三角函数的单调性和最值问题.学生应通过绘制三角函数的图象，观察其变化趋势，理解其在哪些区间内单调递增或递减，以及何时取得最值[1].

1.3灵活运用公式

三角函数有许多公式，如和差角公式、和差化积公式、积化和差公式等.利用辅助角公式可以将复杂的三角函数问题转化为简单的三角函数问题.通过辅助角公式，可以消除函数中的根号，从而更容易地分析函数的单调性和最值.又如，熟练掌握三角函数的恒等变换公式，可以简化问题，提供更多关于三角函数性质的信息.学生应能灵活运用这些公式，化简复杂的三角函数[2].

1.4培养解题思路和技巧

解决三角函数的单调性和最值问题需要具备一定的解题思路和技巧.在解题过程中，要善于观察、分析问题，找到解决问题的切入点.此外，还要熟练运用代数、几何等知识，将问题转化为三角函数问题.通过不断地练习和总结，培养自己的解题能力和技巧[3].

1.5实际应用

通过解决实际应用问题，学生可以加深对三角函数单调性和最值问题的理解.例如，在物理、工程和金融等领域，三角函数都有广泛的应用.学生可以通过解决这些领域的实际问题，提高自己解决三角函数问题的能力.

2用三角函数的极值求单调区间

点评第（1）问利用辅助角公式进行了化简，可得到振幅、周期和初相位；第（2）问通过求导，并对a进行分类讨论，利用余弦函数的单调性分析导函数在区间（0，π）的正负情况，即可判断y=f（x）是否为严格增函数，进而得到实数a的取值范围[3]．

3三角函数的单调性与最值的综合问题

通过对三角函数单调性和最值问题的研究，可以让学生更好地掌握三角函数的相关知识，学生可以更好地应对高考和其他数学竞赛中的相关题目，为后续学习高等数学和实际应用奠定基础.

参考文献：

[1]曹凤山.三角函数的图像与性质[J].中学数学教学参考，2015（Z1）：61-65．

[2]崔文，侯宇虹.三角函数最值问题的求解策略[J].高中生之友，2015（21）：29-31．

[3]危志刚.对例题教学有效性的思考——“三角函数单调性和最值问题”教学启示[J].福建教育，2014（36）：52-54．