一道平面几何加试题的探究与推广

题目 如图1，PA、PB分别切⊙O于点A、B，过点P的割线交⊙O于点C、D，PA的中点为M，CM交AB于点E.求证：DE∥PA.

该题是2013年全国高中数学联赛江苏赛区复赛加试第1题，是一道精彩的平面几何题.其构思巧妙，可以很好的锻炼学生的逻辑思维能力，下面笔者对该加试试题进行证法探究，并推广到圆锥曲线中.

类似可证双曲线与抛物线也有如下性质：

定理2 已知PA、PB分别切双曲线Γ：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）于点A、B，过点P的割线交双曲线于点C、D，PA的中点为M，CM交AB于点E.求证：DE∥PA.

定理3 已知PA、PB分别切抛物线Γ：y2=2px（pgt;0）于点A、B，过点P的割线交抛物线于点C、D，PA的中点为M，CM交AB于点E.求证：DE∥PA.

定理2、定理3留给有兴趣的读者证明.