突破常规巧寻觅，极限思维妙应用

数学思维的创造性与创新性，是高阶思维的一种重要体现，也是解决数学问题时的一种有效的创新应用．其中，极限思维就是高阶思维应用中的一个重要思维方式．在解决一些客观数学问题时，合理借助极限思维，实现“变量”与“常量”，“抽象”与“具体”，“静态”与“动态”等视角的转化，从而实现有限到无限、近似到精确、量变到质变等方面的跨越，合理避免多变、繁杂的数学运算，抽象、死板的逻辑推理等，独辟蹊径，降低试题难度与思维高度，优化解题过程，起到事半功倍的效果．本文就此实例探析，旨在与同行分享.

1．化“变量”为“常量”，回归函数性质

例1 对任意θ∈（0，π2），都有（" ）.

A．sin（sinθ）lt;cosθlt;cos（cosθ）

B．sin（sinθ）gt;cosθgt;cos（cosθ）

C．sin（cosθ）lt;cos（sinθ）lt;cosθ

D．sin（cosθ）lt;cosθlt;cos（sinθ）

分析：根据题目条件，角θ的取值在区间（0，π2）上变化，其变化是连续上，而对应的三角函数值的变化也是连续的，存在相关“变量”与“常量”之间的关系，可通过常规思维，利用三角函数的基本性质与函数的性质来处理；也可以通过极限思维来巧妙突破与合理排除，实现快速判定．

解法1：（常规解法）根据三角函数线可知，当θ∈（0，π2）时，sinθlt;θlt;tanθ，而cosθ∈（0，1）（0，π2），则sin（cosθ）lt;cosθ；又余弦函数y=cosx在（0，π2）上单调递减，则cos（sinθ）gt;cosθ.

综上可知sin（cosθ）lt;cosθlt;cos（sinθ），故选D．

解法2：（极限思维法）根据角θ的变量取值限制，结合极限思维，当θ→0时，sin（sinθ）→0，cosθ→1，cos（cosθ）→cos1lt;1，由此可排除A，B；当θ→π2时，sinθ→1，cos（sinθ）→cos1，cosθ→0，由此可排除C.故选D．

评注：利用变化且连续的三角函数值中“变量”与“常量”之间的关系，合理借助极限思维，通过区间的两个端点的极限值来突破与应用，合理排除错误选项，达到正确判断的目的，处理起来更加有效快捷，避免三角函数中的“二级结论”以及函数的基本性质等的综合与应用．

消去参数x并整理可得17y2－32y+15=0，解得y=1或y=1517，此时x=4y－4=－817，即F（－817，1517），利用三角函数的定义可得sin（α+β）=sin（π2+β）=cosα=x=－817.故选B．

评注：抓住单位圆上的动直线在运动过程中的不变性，利用极限思维，通过常规直线逼近于单位圆的切线或单位圆与坐标轴的交点，实现动点的“合二为一”或极端取值，以极端位置的形式来分析与处理，确定对应角的关系，并结合题设条件确定相关角的三角函数值，借助三角函数中的二倍角公式、同角三角函数基本关系式以及三角函数的定义等来分析与求解．

综上实例知，极限思维是高阶思维的一种解题思维，是探索解题新思路与新方式，探究解题新模式与新应用的一种奇思妙想，给人一种“拨开云雾见晴天”的特殊视角．借助极限思维，对于数学客观题的解答有奇效，特别效地实现“变量”与“常量”，“抽象”与“具体”，“静态”与“动态”等视角的转化，可以很好回避复杂的数学运算与繁杂的逻辑推理，化繁为易，优化解题过程，提升解题效益，全面拓展数学思维，提升数学能力，培养数学核心素养．