斜率比为定值背景下的定直线问题的拓展探究

极点极线为高等几何中的重要概念，以其为背景命制的高考题甚多. 本文在研究斜率之比为定值与直线过定点和动点在定直线问题的内在联系时，除借助常用结论外基本均已极点极线的知识进行简单证明，旨在还原思考过程，建立定值、定点、定线问题的一种关联模型，让学生能够透过问题看到本质，更好地理解常规方程中所体现的运算技巧.

倘若由椭圆问题进行纵向探究，类比到双曲线上，即为2023年新高考Ⅱ卷第21题的命题背景，其核心仍在于证明两条直线的斜率之比为定值.

（2023新高考Ⅱ卷T21）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（－25，0），离心率为5.

（1）求C的方程；

（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（－4，0）的直线与双曲线左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上.

教师在高观点的角度下理解圆锥曲线知识的本质，有助于指导学生快速找到解题的关键，也可以基于此进行试题的命制与改编，通过对问题的深入研究，纵向拓展，培养学生的思维能力，掌握一类问题的通性通法与巧解.

参考文献

［1］刘南山.一道2018全国高中数学联赛预赛试题的再探究［J］.数学通讯（下半月），2019（6）：43，54.

［2］赵颖颖.椭圆中一类斜率比值为定值引出的直线过定点［J］.数学通讯（上半月），2019（4）：24-25.

［3］陈学忠.对一道斜率比为定值试题的拓展探究［J］.中学数学研究（江西师大），2020（2）：36-37 .