从“阿氏圆”到“阿氏球”

在许多问题中，经常遇到“隐圆”问题，若能快速捕捉挖掘题目隐含条件，则一些难题将自动迎刃而解.本文讲述最经典的一种“隐圆”：阿波罗尼斯圆（下文简称“阿氏圆”）.然后从“阿氏圆”延伸到“阿氏球”，特别后者兼具了立体几何与解析几何，对学生的能力要求很高，很好地考查了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，近年很热.本文针对这个考点，予以剖析，供读者参考使用.

一、从一道经典“隐圆”高考题说起

（2013年江苏高考题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x－4．设圆C的半径为1，圆心在l上．

（1）略；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．

解：（1）略；（2）设点M（x，y），由MA=2MO知x2+（y－3）2=2x2+y2，化简得x2+（y+1）2=4，即点M的轨迹为以（0，1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D．又因为点M在圆C上，故圆C与圆D的关系为相交或相切．故1≤|CD|≤3，其中CD=a2+（2a－3）2．解得0≤a≤125．

点评：本题是一道经典的以“阿氏圆”这种“隐圆”为背景命制的高考题，曾多次给本校学生做过，但仍有不少学生在规定的时间内没有思路，不知道从何入手？或者说对题目中的已知条件“MA=2MO”不知道从哪个角度转化比较好.如果学生对阿氏圆比较熟悉的话，此题很容易转化为圆与圆的位置关系来解答.

二、“隐圆”之“阿氏圆”

基于以上高考题的命题背景，本文介绍“阿氏圆”的相关定义、代数形式与几何形式，从代数和几何两个方面给出阿氏圆的定位，并给出一些经典应用.