一道曲直交点个数问题引发的深度探究

题目 已知agt;0且a≠1，函数f（x）=xaax（xgt;0）．若曲线y=fx与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围．

本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，由于原函数f（x）比较复杂，取对数运算重构函数分成g（x）=lnx与p（x）=xlnaa两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线斜率与一次函数的斜率比较得到结论，数形结合依据曲线凹凸性与直线很直观地得出答案．

结语：根据函数凹凸性，我们可以断定凹凸性相反时易于确定两曲线交点个数问题，凹凸性一致时就很难通过图象判定其个数， 有必要借助多媒体软件工具，几何画板或GGB等绘图，启发思路，辅助解决问题，然后通过严格的代数推理论证，达到完美解决问题的有效路径.