经历“方差”概念形成过程，培养学生数据分析能力

“方差”的概念是初中“统计与概率”领域难点之一.笔者所听一节“方差”的公开课中，授课教师仅抓住了知识点的要求，而忽略了方差的概念形成过程，忽视了方差对学生数据分析观念的培养作用.本文中通过剖析所听公开课中的问题，给出“方差”这一节课的教学设计，并提出自己的一些思考.

1 问题剖析

1.1 教材理解不深刻，目标定位不准确

本节课有两个概念“极差”和“方差”，教材都是采用描述性的定义.会计算简单数据的方差只是知识层面的要求.而授课教师因为中考对方差的考查比较简单，故在课堂教学中过于功利化，仅仅要求学生会计算一组数据的方差，忽略了方差概念的形成、公式的得出、意义的理解，不注重学生数据分析观念的培养.

1.2 教学方法简单化，机械训练效益低

本节课中，授课教师主要采用了讲述加练习的方式，讲解了极差、方差的概念，给出了方差的公式后，就利用题组进行训练.这种方式下，学生对概念的理解只会停留在表面，概念得来是被动的，教学效益是低下的.这样的课堂是低效的，也丧失了培养学生数据分析观念的良机.

本节课应该设计合理的问题，让学生在问题串的引导下经历概念的形成过程，体悟数据中蕴含着信息，感受数据分析的必要性.

2 教学过程

2.1 环节1：创设情境，引入课题

问题1 世界公认的中国的“国球”是什么？

生（齐）：乒乓球.

师：那你们知道比赛用球的直径是多少吗？

大部分学生摇头.

师：老师告诉你们，乒乓球的标准直径是40 mm.

问题2 A，B两厂准备为奥运会提供比赛用球.质检员分别从A，B两厂的产品中抽样调查了10只乒乓球，它们的直径（单位：mm）如表1所示：

如果你是奥委会负责比赛用球的官员，根据这些数据，你准备选用哪个厂生产的乒乓球？

学生分组讨论，然后回答.

生1：我觉得A，B两厂都一样，因为它们的平均数都是40.0 mm.

生2：我也觉得A，B两厂都一样，因为它们的中位数都是40.0 mm.

生3：如果从众数来看，A厂生产的乒乓球直径的众数是40.0 mm，而B厂的众数是40.0 mm和40.1 mm，是不是两厂也是一样呢？

师：刚才同学们分别从平均数、中位数、众数来描述了两厂生产的乒乓球的直径，发现两厂生产的乒乓球的“平均水平”相同，那我们是否还可以从其他因素来考虑呢？

2.2 环节2：比较分析，理解概念

问题3 奥运会比赛需要大量用球，考查一批乒乓球的直径还需要关注什么因素？

学生分组讨论、交流.

生4：A厂乒乓球最大直径是40.2 mm，最小直径是39.8 mm，而B厂乒乓球最大直径是40.3 mm，最小直径是39.7 mm，我觉得A厂的更好一点.

师：大家是否同意他的看法.

生（齐）：同意.

师：我们把一组数据中最大值与最小值的差叫作极差.极差反映了一组数据的变化范围，在一定程度上描述了这组数据的离散程度.

问题4 如果C厂也参与了竞争，从该厂抽样了8个乒乓球，它们的直径（单位：mm）如表2所示：

又该如何选择呢？

生5：也可以比较这组数据的极差.

生6：可是这组数据的极差也是0.4，那么应该选A厂的还是选C厂的呢？

师：看来，极差仅能反映这一组数据两个极端值的离散程度，反映不出其他的数据偏其中心值的程度.

问题5 能否绘制图表直观地感受三组数据的“波动大小”？（图1是A厂乒乓球直径的离散图.）

学生分组合作画出B厂、C厂的乒乓球直径的离散图.

师：从离散图能否直观地看出哪个厂生产的乒乓球直径更接近于标准直径？

生7：我觉得是A厂，因为A厂有4个数据是40.0 mm.

生8：我也觉得是A厂，因为A厂大多数数据接近于40.0 mm.

师：数学学习不能光靠直观，还需要量化.

问题6 如何用某个具体的数值来刻画每一组数据的波动情况？

师：每一组数据都是以什么作为比较标准的？

生9：以乒乓球的标准直径作为比较标准.

师：在这几组数据中，乒乓球的标准直径40.0是这每组数据的哪一个量？

生10：都是平均数.

师：如何比较每一个数据与平均数的差异？

生11：可以求每一个数据与平均数的差值.

师：每个小组请把表3填好.

师：这样能刻画每一个数据与平均数的波动情况吗？

生12：我觉得不行.但是能否用偏差的总和来比较各组数据偏离标准直径的情况？

生13：应该不可以.这些差值的和会出现正负抵消的情况，A，B，C三组数据的差值之和都是0，怎么比较？

师：为量化各组数据偏离平均值的情况，如何进行数学上的处理来避免偏差正负抵消？你有什么方案？

生14：要想不出现正负抵消的情况，能不能求差值的绝对值之和？

生15：我觉得这样也有问题，A，B两组数据都有10个，而C组数据只有8个.

生16：那就求这些差值的绝对值的平均数，就可以避免这个问题了.

师：各位同学想得都非常好.要想避免正负抵消，除了取各差值绝对值，还有什么方法吗？

生17：可以将每个差值平方，再求这些平方的平均数.

师：这两种方法都可以描述一组数据的离散程度，统计学上将前一种统计量称为“平均差”，后一种称为“方差”，本节课我们主要研究方差.如果一组数据为x1，x2，……，xn，你能表示出它的方差吗？

…………

2.3 环节3：应用概念，解决问题

教师出示例题（略）.

师生共同完成该例题的解答，强调计算、表达、书写的规范性和准确性，并归纳计算方差的一般步骤.

巩固练习：（略）

2.4 环节4：归纳小结，提升学力

问题7 通过这一节课的学习，你如何刻画一组数据离散程度？

问题8 计算方差的具体步骤是什么？你是如何理解方差概念的？

…………

3 反思

3.1 精心设计问题，经历概念形成过程

“问题是思维的起点，是数学的心脏”.课堂教学要精心设计问题，主要体现在问“好问题”、“问好”问题.“好问题”来源于知识发生、发展的关键处和学生理解的困惑处；“问好”问题要注意问题的层次性和逻辑性[1].

3.2 深入挖掘素材，培养数据分析观念

现今社会是高速发展的社会，到处充斥着海量的信息，时常需要分析大量的数据，因此培养学生数据分析观念就显得尤为重要.首先，在统计教学中需要从实际生活背景出发，提出契合学生认知水平的问题，让学生感受用数据分析的必要性，增强学生用数据分析的观念.其次，要体会数据蕴含的信息.最后，能利用数据进行判断分析.根据数据的特征，合理选用统计量来表征数据的集中趋势或是离散程度.

参考文献：

[1]石树伟.核心问题为统领 关键问题为线索——以“方差”问题导学为例[J].中国数学教育，2018（17）：17-20.