基于探究活动 发展推理能力

摘要：推理能力是初中数学核心素养的主要表现之一，推理能力的发展应贯穿整个初中教学过程中.在“一元二次方程根与系数的关系”的教学中，从单元整体视角，基于知识的发生和发展，设计探究一元二次方程的性质和从特殊到一般探究根与系数的关系等活动，通过问题引导及合作探究，让学生经历观察、发现、归纳和证明的研究过程，体会用代数思维研究问题的一般方法，逐步发展推理能力.

关键词：一元二次方程；根与系数的关系；推理能力；探究活动

推理能力是初中数学的关键能力，是用数学的思维思考现实世界的主要手段，“一元二次方程”单元是初中数与代数领域的重要组成部分，是发展代数推理能力的重要载体.本课基于单元整体教学设计的理念，通过设计系列探究活动，引导学生用数学的一般方法探索一元二次方程根与系数的关系，提升推理能力.下面是笔者对“一元二次方程根与系数的关系”的教学设计及实践反思.

1 教学分析

1.1 课时内容解析

（1）内容的本质与教学价值

本节课的内容是一元二次方程根与系数的关系，属于探究方程性质的新授课，是大单元结构化思维的经典代数推理案例.根与系数的关系是一元n次方程都具有的一般性质，用简洁的形式揭示了方程根与系数的内在联系.通过本节课的学习能深化学生对一元二次方程的理解，提高学生运用一元二次方程分析问题和解决问题的能力［1］.

（2）本课时与单元内容之间的关系

一元二次方程是初中阶段数学学习的最后一个方程类型，本单元延续了研究方程的一般思路“定义—解法—应用”，重点解决方程的核心问题：求解和应用，发展学生的运算能力和模型观念.同时，根据一元二次方程的结构特点，本单元可以尝试研究方程的性质，即根与系数的关系，从而完善方程研究的一般路径，发展代数推理能力.

（3）教学重难点

教学重点是一元二次方程根与系数关系的探索及简单应用.教学难点是发现并证明一元二次方程根与系数的关系.

1.2 课时目标

（1）了解一元二次方程根与系数的关系，能进行简单应用.

（2）在一元二次方程根与系数的关系的探究过程中，感受由特殊到一般地认识事物的规律，体会代数推理的一般方法，发展数学抽象能力和推理能力.

（3）通过韦达定理发展历史的介绍，感受数学文化，培养理性精神.

1.3 学情分析

本课的授课对象是九年级学生，之前已有研究一元一次方程、二元一次方程组等的经验，对方程的求解和应用问题有比较明确的研究方向和研究策略，但是缺少研究方程性质的经验，代数推理能力还有待提高.九年级学生的合作交流能力较好，可以通过自主探究、小组讨论的方式，引导学生在交流合作中逐步形成解决问题的方法，从而突破难点.

2 教学设计

2.1 创境设问

问题1 你能求出方程的根吗？

追问：①你认为这个方程有实数根吗？

②你能通过观察直接猜出该方程的一个根吗？

③如何求出方程的另一个根？你有什么方法？

④有没有更优化的方法求解呢？

说明：创设解一个具体的一元二次方程情境，复习一元二次方程根的判别及解法，由于系数比较复杂，学生在解方程的过程中遇到了困难，从而产生研究更优化解法的需求，因此激发求知欲.同时，也体现了研究一元二次方程根与系数关系的必要性，即解决“为什么学”的问题.

2.2 互助探究

问题2 一元二次方程的两个要素是系数和根，随着系数的改变，根也在改变，那么在变化的过程中有没有什么是不变的呢？也就是方程是否具有某种特殊性质？

追问：①要研究一元二次方程的性质，可以从哪些方面进行研究？如何研究？

②我们先研究二次项系数为1的特殊情况，请你观察表1，你能发现根与系数之间的某种数量关系吗？

③你能再写出一个二次项系数为1的一元二次方程，并验证是否符合上面发现的规律吗？

说明：设计探究活动，通过观察四个具体的例子，学生能够自主发现根与系数之间的关系，了解研究代数性质的一般方法，即从要素之间的关系、从特殊到一般进行研究.同时，通过类比实数运算想到研究两根的和、积的运算与系数之间的关系，体现了数学知识之间的关联性以及研究方法的一致性.

问题3 请你用数学符号语言表述刚才得到的猜想，并证明.

追问：你认为这个关系和求根公式比起来有什么优势？

师生活动：学生得到猜想，即若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1，x2，则有x1+x2=－p，x1x2=q.

证法二：根据条件构造方程（x－x1）（x－x2）=0，展开得x2－（x1+x2）x+x1x2=0，对应系数相等即可证明.

教师总结：请大家对比这两种证明方法，你能说出每种方法是如何想到的吗？我们可以从方程的两个根x1，x2进行分析，如果把根当作未知的，就可以用求根公式求出未知的根，即方法一；如果把根当作已知的，就可以根据两根重新构造一个与原方程同解的一元二次方程，即方法二.因此，对代数对象属性的分析是发现解题思路的一种常见方法.

说明：让学生经历从具体问题中发现问题、提出猜想，并用数学的语言进行归纳、用数学的方法进行推理论证的过程，体会代数推理的一般思路，解决“怎么学”的问题，培养抽象能力和推理能力.引导学生思考两种证明方法的思维来源，让学生更深刻地感受到知识间的联系，培养代数推理能力.同时，通过追问促使学生感受这个关系的简洁性和直接性，进一步体会学习本节课内容的必要性.

问题4 把上面的猜想和证明方法推广到任意的一元二次方程，即对于方程ax2+bx+c=0，方程的根x1，x2与系数a，b，c之间有什么关系呢？请用数学的语言表述你的猜想，并证明.

师生活动：引导学生从特殊到一般来研究问题.

证法二：利用求根公式计算求解.

追问：观察求根公式的结构特点，你能进一步理解为什么我们要研究两根之和、两根之积吗？

教师总结：请大家对比上面两种证明方法，你能说出每种方法是如何想到的吗？方法一是利用转化思想，观察一般形式与特殊形式方程结构上的异同，通过变形把未知的问题转化为已知的问题；方法二是利用类比的方法，类比之前特殊形式方程的证明方法，利用求根公式把根表示出来再进行计算.因此，当我们遇到新问题时，通常可以考虑利用类比和转化的方法，用已有的经验和方法解决新的问题.

说明：让学生经历从特殊到一般的探究过程，进一步培养抽象能力、运算能力和推理能力，渗透转化的数学思想，感受通过一般形式推导出通用的结论的重要意义.通过观察求根公式的结构特点，进一步感受研究两根之和、两根之积的合理性与必要性.

2.3 知识建构

问题5 这个定理叫做韦达定理，你认为使用韦达定理应注意哪些事项？

追问：①观察定理中两个式子的特点，有哪些异同？

②定理成立的前提是什么？为什么？

说明：引导学生对定理进行辨析，加强对定理的记忆和理解，强调定理成立的前提条件是Δ≥0，培养科学严谨的理性精神.同时补充说明随着研究范围的扩大，定理适用于所有的一元二次方程，为后续高中数学的学习做好铺垫.

2.4 知识应用

例1 若x1，x2是一元二次方程2x2+12=10x的两个根，则x1+x2=[CD#3]，x1x2=[CD#3].

变式 若已知一个一元二次方程的两个根分别是2和3，你能构造满足条件的方程吗？

说明：通过韦达定理正反两方面的应用，促使学生进一步理解根与系数之间的关系，同时根据构造出的方程不一定相同，感受虽然方程不同，但是根与系数之间的关系是不变的，进一步体会性质是研究变化中的不变性.

说明：利用韦达定理解决引例中的问题，感受韦达定理在表述根与系数之间关系的直接性，以及在求解过程的优越性，体会韦达定理与求根公式一起更加完整地反映了根与系数的关系，建立知识的系统性.

例2 已知方程4x2－8x+1=0的两个根为x1，x2，不解方程，求代数式x1－x2的值.

说明：在研究完两根的和与积运算之后，设计了求两根之差的问题，感受前后一致、逻辑连贯的研究过程，同时渗透转化的思想和整体代入求解的解题方法，有利于初高中数学学习的衔接.

课堂练习 下列一元二次方程中，满足“两根均为负数”的是.（填序号）

①7x2+11x－5=0； ②6x2－13x－5=0；

③5x2+9x+5=0；④3x2+21x+5=0.

说明：通过课堂练习检验学生本节课的学习效果，本题的四个方程的根均不易直接看出，可以通过两根之和、两根之积的正负来判断，从而深化对韦达定理的理解，进一步体会一元二次方程的根与系数之间的关系.同时设置了选项③，此方程的Δlt;0，不能使用韦达定理，从而让学生对韦达定理的应用产生更全面的理解.

2.5 梳理总结

教师与学生一起梳理本节课所学的主要内容：

（1）从研究内容上看，本节课学习了一元二次方程根与系数的关系，其实之前学过的一元一次方程，甚至推广到一元n次方程，都有类似的性质.这体现了数学在研究内容上的整体性.

（2）从研究思路上看，按照方程根的判别、方程的解法及方程的性质的顺序是研究所有方程的一般思路，体现了数学研究路径的一般性.

（3）从研究方法上看，首先从具体的例子中发现规律，然后用数学的语言归纳和表达规律，最后再通过严格的计算和推理进行证明，这也是用代数思维研究问题的基本方法，体现了数学研究方法的一致性.

说明：通过小结，引导学生从知识和方法等方面梳理本节课所学内容，进一步总结每一个数学问题的学习都要思考“为什么学”“怎么学”和“学了有什么用”这几个问题，总结用代数方法研究问题的一般方法，即发现、归纳、证明，让学生学会学习.

问题6 你了解数学家韦达吗？你知道在数学的发展史上，韦达定理的发现都经历了哪些曲折的过程吗？请你在课后利用网络资源查阅相关材料，并与同学们分享韦达定理的故事.

推荐文章：《关于韦达定理的历史注记》.作者：汪淳（上海市延安初级中学八年2班）.

说明：通过课后阅读问题的布置，把本节课的学习从线下延伸到线上，教会学生充分利用各种资源自主学习.同时通过了解韦达定理的相关数学史，学生可以感受数学家们前仆后继追求真理的科学精神，感受数学文化.

3 教学反思

3.1 创设数学情境，引发认知冲突

情境设计与问题提出对学生主动参与教学活动具有良好的促进作用［2］.创设恰当的情境、提出合适的数学问题，引导学生开展系列化数学活动，对于激发学生学习兴趣，引发学生积极思考，培养学生良好的学习习惯等有着积极的教育意义.

本课创设解一个具体的一元二次方程情境，融一元二次方程概念、解法、性质于一体，既复习了一元二次方程根的判别及解法，又由于系数比较复杂，学生在解方程的过程中遇到了困难，从而产生研究更优化解法的需求，合理提出问题，有效引发认知冲突，激发了学生的求知欲，同时也体现了研究根与系数关系的必要性.

3.2 设计探究活动，发展推理能力

推理是数学学科的本质特征，是理解数学的重要途径［3］.在教学过程中，教师需要围绕学习主题设计恰当的探究活动，根据教材特点、教学内容，让学生通过自我探究与合作交流相结合的方式进行学习，体验探究的全过程，获取知识，提升能力.

本课以问题为导向，创设数学活动方案，以系列探究问题呈现教学内容，设计了探究一元二次方程的性质和从特殊到一般研究根与系数关系等活动，让学生在活动中自主发现根与系数之间的关系，了解研究代数性质的一般方法，即按照“发现—归纳—证明”的路径，从要素之间的关系、从特殊到一般地进行研究，逐步发展推理能力.

3.3 形成一般观念，关注初高衔接

数学是在抽象的结构上建立的有序逻辑结构体系，教会学生在数学学习中“用相似的方法做不同的事情”，形成数学学习的一般观念，可以帮助学生整体把握知识，减轻记忆负担，从而学会学习.

本课通过设计探究活动，启发学生从数学内部提出问题，探究怎样去解决问题，以及如何应用数学知识解决实际问题.重视模式化、结构化，帮助学生形成研究代数问题的一般观念.教学过程突出以学生为主体进行合作学习，让学生从特殊到一般，猜想结论，论证结论，在高度参与中有效提升对学习内容的深度理解.

同时，本课还特别关注初高中知识和方法的衔接，通过韦达定理成立前提条件的说明，以及根与系数关系的推广等环节，渗透设而不求等思想方法，为高中数学的学习奠定了基础.

3.4 重视数学文化，落实学科育人

立德树人是教育的终极目标，教学中教师要挖掘教学过程中的各种素材，充分发挥数学的学科育人价值.

韦达定理的发展过程本身就蕴含了丰富的数学史，本课中教师带领学生“重走”了韦达定理的发现与认证之路，让学生像数学家一样观察世界、发现问题和解决问题，感受数学家们前仆后继追求真理的科学精神，渗透数学文化与学科德育.同时在教学过程中，通过学生的自主探究和讨论交流，也培养了学生有条理地思考问题的学习习惯，以及科学严谨、勇于创新的个性品质.

参考文献：

［1］张林.教科学探究方法 悟数学思想本质［J］.中学数学教学参考，2020（23）：65-68.

［2］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.

［3］鲍建生，章建跃.数学核心素养在初中阶段的主要表现之五：推理能力[J].中国数学教育，2022（19）：3-11.