逆向思维 出其不意：初中数学反证法解题探究

所谓反证法，即从否定论断（构建相反假设）着手，将这个相反的假设视作已知前提，在严谨的逻辑推导下，引出逻辑上的冲突，依据（逻辑学中的）矛盾原则，认识到该假设性判断是错误的，再依据（逻辑学上的）排他原则，从而确认原论点的判断本身是准确无误的.反证法是是中学数学里一种常用的证明方法，而且这种证明方法以其独特的证明方式与思维模式，对培养学生的逻辑推理能力和创新思维具有深远的意义.

1 在平面几何中的应用

在证明平面几何问题时，运用反证法是一种重要的方法，尤其是在判断线线、线面、面面之间的位置关系时，通常可以采用定义法或反证法来判断.然而，有时使用定义法进行证明可能会相对困难，此时运用反证法便展现出其独特的优势.反证法的核心在于，首先假设待证明的结论不成立，然后通过严密的逻辑推理，推导出与已知条件或已知的定义、定理、公理相矛盾的结果，从而确认待证明的结论成立.将来在学生步入高中阶段后，无论是立体几何还是代数，反证法的应用都相当频繁，如果在初中阶段没有学好反证法，可能会对高中阶段的数学学习产生影响.因此，我们应该帮助学生深入理解在几何中的应用，培养他们的批判性思维和解决问题的能力.

例1""（2024·江苏徐州自主招生）如图1，半径为10的圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，且OF=8，把纸片折叠，折痕为AB（AFlt;AB），此时AB平行于OF，且弧AB过点F．

（1）求弦AB的长度．

（2）已知点P1在线段AB上，且满足对任意点P在线段AB上，都有OP+PF≥OP1+P1F，已知M是圆周上的动点，如图2，把纸片折叠使M与F重合，然后抚平纸片，折痕为CD（不与AB重合），证明：O，P1，F在直线CD的同侧．

思路分析：（1）作点F关于AB的对称点F′，连接FF′交AB于点E，则AB是FF′的垂直平分线，由勾股定理得FF′=6，则EF=3，过点O作OD⊥AB，由此可知四边形EFOD是矩形，则OD=EF=3，ED=OF=8.在Rt△AOD中，运用勾股定理求得AD=91.由垂径定理即可求得AB=291.

（2）根据条件，可以假设点DC将P1，O，F三点中点P1，F分割在一侧，点O在另一侧，则CD与线段OF相交，交点记为点N，连接MN，OM，此时不难得到MN=NF.又因为△OMN中，MN+ONgt;OM，即FN+ONgt;OM，即OFgt;MN，与OFlt;MN矛盾，故假设不成立，同理可证即可解决问题．

解析：（1）根据题意，首先作点F关于AB的对称点F′，连接FF′，交AB于点E，如图3.

因为把纸片折叠，折痕为AB（AFlt;AB），此时AB平行于OF，且弧AB过点F，

所以点F′一定在AB[TX（]上，连接OA，OF′.易知

AB是线段FF′的垂直平分线.

在Rt△OF′F中，OF′=10，OF=8，

所以FF′=OF′2－OF2=6，则EF=12F′F=3.

过点O作OD⊥AB于点D，则∠EDO=90°.

因为AB平行于OF，∠FED=90°，所以∠EFO=90°，

可知四边形EFOD是矩形，则OD=EF=3，ED=OF=8.

在Rt△AOD中，AO=10，OD=3，则

AD=AO2－OD2=91.

因为OD⊥AB，OD经过圆心，所以AB=2AD=291.

（2）假设DC将P1，O，F三点中的点P1，F分割在一侧，点O在另一侧，则CD与线段OF相交，交点记为点N，连接MN，OM，如图4.

由题意可得MN=NF，则在△OMN中，MN+ONgt;OM，所以FN+ONgt;OM，即OFgt;MN，与OFlt;MN矛盾，故假设不成立.同理可证，点P1，O和点F分别位于CD两侧以及点O，F和点P1位于CD两侧都不成立.

综上可得，O，P1，F在直线CD的同侧．

评析：本题考查内容为折叠的性质，垂直平分线的性质定理、勾股定理、矩形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，在理解题意的基础上，熟练应用所学知识点解决问题是关键.

2 在有理数证明中的应用

反证法是有理数问题的证明中一种非常重要的方法，它从命题结论的对立面着手，把这个对立的判断视作已知前提，步步推进，历经一连串合理且缜密的逻辑推导，得出与已知定义、定理、公理及题目设定条件相矛盾的结果，进而确认该假设不成立，而得到原命题的正确性.在证明有关有理数命题正确与否的问题中，当直接运用题目中的已知前提来论证命题的难度较大或无从着手时，我们不妨转换证明问题的角度，采取逆向思维，巧妙运用逆证法，或许问题会化难为易.

例2""（2024·江苏南京自主招生）对一个正整数n，我们进行如下操作：若它是奇数，则乘3再加1；若是偶数，则除以2．

（1）对于n=17，37，进行若干次上述操作后，是否有一数是4的倍数？

（2）求证：对任意正整数n，进行有限次上述操作后，必有一数是4的倍数．

思路分析：（1）根据题目给出的信息和定义进行判断和证明即可；（2）根据题意，由于奇数经过一次操作后一定会变为偶数，因此只需要证明偶数经过操作后有一数是4的倍数即可.若偶数为4的倍数，则问题得证.若偶数不是4的倍数，则该偶数可以表示为4m+2（m为整数），当m=2k（k为整数）时，4m+2=8k+2，4m+2经过操作后可变为4（3k+1），问题得证；当m=2k+1（k为整数）时，4m+2经过操作后可得18k+16，对于18k+16，要使18k+16不是4的倍数，那么k一定要是奇数，则可推出m=2k+1=4p+3……，接此种方式计算下去，需要继续成立，即m+12k对于任意的k的结果都是整数，显然这是不可能的.故命题得证．

解析：（1）当n=17时，根据题意可知

17×3+1=52，且52是4的倍数，所以n=17进行一次上述操作后，有一数是4的倍数.

当n=37时，因为37×3+1=112，且112是4的倍数，

所以n=37进行一次上述操作后，有一数是4的倍数.

（2）根据题目条件可知，因为奇数乘3再加1后一定会变为偶数，而偶数除以一定数量的2之后一定会变为奇数，所以经过有限步后奇数一定会变为偶数.

若操作后得到的偶数为4的倍数，则问题得证.

若所得偶数不是4的倍数，则该偶数可以表示为4m+2（m为整数）.

当m=2k（k为整数）时，4m+2=8k+2.

（8k+2）÷2=4k+1，

3（4k+1）+1=12k+4=4（3k+1）.

所以3（4k+1）+1一定是4的倍数，则当m为偶数时，满足题意.

当m=2k+1（k为整数）时，4m+2=8k+6.

（8k+6）÷2=4k+3，3（4k+3）+1=12k+10，

（12k+10）÷2=6k+5，

3（6k+5）+1=18k+16，

（18k+16）÷2=9k+8.

对于18k+16，要使18k+16不是4的倍数，那么k一定要是奇数.

设k=2p+1（p为整数），则18k+16=36p+34.

（36p+34）÷2=18p+17，（18p+17）×3+1=54p+52，（54p+52）÷2=27p+26.

同理要使27p+26不是4的倍数，则p一定是奇数.

如此反复，在此过程中，若有一个环节中出现了偶数，那么环节中必有4的倍数.

所以假设不存在4的倍数，那么m=2k+1=4p+3……要一直成立，即m+12k对于任意的k的结果都是整数，显然这是不可能的，于是假设不成立，故原结论正确．

评析：本题考查反证法和有理数的四则运算.虽然它们是数学中两个不同的概念，但是它们在数学学习和解题过程中都发挥着重要的作用，尤其是有理数四则运算很多时候可以作为反证法的推理工具，二者相互辅助，对培养学生的数学思维具有重要意义.

3 结语

反证法是数学推理过程中频繁采用的一种策略，它基于假设待求证命题为谬误，进而推导出矛盾性的结论，以此来证实原命题的正确性.在日常的数学学习与解题练习中，因为学生需要解决的数学问题日益广泛，涉及的内容逐渐深入，题型也愈发多样，学生可能会遇到各种问题，其中许多看似棘手的问题，实则通过逆否论证便能迎刃而解，而且合理运用反证法，能够有效锻炼学生的逻辑思维能力，并增强其问题解决技巧.在初中数学的学习过程中，反证法可用于验证关于方程及几何图形的某些性质.此外，它还能协助学生发掘并解决一系列复杂问题.因此，只要学生能够洞悉反证法的本质，掌握其解题流程，并熟练构建问题的矛盾假设，便能以清晰的思路迅速解决问题，特别是在运用反证法来思考平面几何问题、唯一性命题、不可能性命题及无穷性命题时，这种方法对学生的解题帮助尤为重要.