曲径通幽处，禅房花木深

摘要：本文中选取了2023年江苏连云港的一道中考压轴题（填空题）进行研究.给出了3种常见的解决办法，并对这3种方法进行了详细的剖析，指出了每种方法的难点、关键点之所在.探讨了数学题的通性通法，研究如何引导学生建立数学模型，突破核心难点.通过一道题3种方法的演变，探索了其中的共性生长点、拓展点，力求使教学更加具有针对性.

关键词：核心素养；配方；最值

《义务教育数学课程标准（2022年版）》关于学业考试的命题原则中指出：“坚持素养立意，凸显育人导向.以核心素养为导向的考试命题，要关注数学的本质，关注通性通法，综合考查四基、四能与核心素养.”[1]中考是如何落实这一要求呢？本文中以一道2023年江苏连云港中考试题的为例，展开研究.

1 试题呈现

（2023江苏连云港第16题）若W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3（x，y为实数），则W的最小值为_____.

本题为试卷上填空题的最后一题，难度之大几乎为连云港近十年中考填空题之最，也是本试卷不折不扣的压轴题.学生们纷纷感到一筹莫展，会做者甚少.中考阅卷时，此题被讨论的热度也颇高.基于此，笔者试着从不同的角度提出解法和思考.

2 试题解法

2.1 用配方法求最值

利用配方法，将条件变形为

W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3

=4x2-4xy+y2+4x-2y+x2+4x+3

=（2x-y）2+2（2x-y）+1+x2+4x+4-2

=（2x-y+1）2+（x+2）2-2.

因为（2x-y+1）2≥0，（x+2）2≥0，

所以W≥-2，当且仅当x=-2，y=-3时，等号成立.

所以W的最小值为-2.

配方法是解决此类题目的最常规方法，但是此题比一般的配方法问题难度大了许多.首先是因为W的表达式中有两个字母x和y（一般的配方法问题中只有一个字母），其次是反复配方，特别是还用到了整体法配方，即通过拆项把原式配成了（2x-y+1）2+（x+2）2-2为核心难点所在.相信学生在考场上大多选择此种方法解题，但是由于拆项、多次配方等，难度大，往往以失败告终.

2.2 用二次函数知识求最值

将条件变形为

W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3

=y2-2（2x+1）y+5x2+8x+3.

当y=2x+1时，W取得最小值，即

W≥4（5x2+8x+3）-［2（2x+1）］2/4

=x2+4x+2

=（x+2）2-2.

因为（x+2）2≥0，所以（x+2）2-2≥-2，当且仅当x=-2，y=-3时，等号成立.

所以W≥-2.

故W的最小值为-2.

对比前一种方法，此种方法做起来要简单不少.它的关键是要学会把W看成y的函数（也可以称y为主元，x为次元或参数）.要先把原式改写为W=y2-2（2x+1）y+5x2+8x+3（以y为未知数的一般式），这样把W看成y的二次函数，这是一个开口向上的抛物线，当y=2x+1时有最低点（即W取得最小值）.再代入二次函数顶点的纵坐标公式得到x2+4x+2，再进行一次简单的配方得到（x+2）2-2即可.特别要注意的是，这里尽量不要用配方法求顶点纵坐标，因为会非常复杂，直接用顶点纵坐标公式则相对简单不少.在考场上想到此种方法解题的学生较少.

2.3 用判别式求最值

将W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3变形，得

y2-2（2x+1）y+5x2+8x+3-W=0.

①

方程①可看成关于y的一元二次方程，因为有实数根，

所以

[2（2x-1）]2-4（5x2+8x+3-W）≥0.

所以W≥x2+4x+2=（x+2）2-2≥2.

所以当x=-2，y=-3时，W取最小值-2.

从过程上讲，对比前面两种方法，此种方法显然简单得多，但也是学生最难想到的.首先要把原式看成关于y（或x也行）的一元二次方程，然后再化为一般式y2-2（2x+1）y+5x2+8x+3-W=0.同时，还要能发现题目的隐含条件：既然要求W的最小值，就说明原式中x，y是存在（或有意义）的，所以将其看成关于y（或x也行）的一元二次方程后Δ≥0，从而整理得到W≥x2+4x+2，再配方得W的最小值为-2.

3 解后思考

前面所介绍的三种方法是按照学生的认知规律来排序的，但是难易程度的顺序却恰恰是相反的，这就不得不引发我们必要的思考.

配方法的关键是把所给代数式化为平方的形式，再利用平方的非负性求出最值.同时，配方法也是解一元二次方程的一种通法，学生总体掌握较好，但是本文所探讨的题目用配方法来做的话，显然既“难”又“繁”，这就对学生的解题能力提出了很高的要求，能在考场上用配方法算出本题的学生应该具备了较高的数学核心素养.

二次函数是初中数学的核心难点之一，课程标准也对此部分有较高的能力要求.学好二次函数的知识，也就具备了解决相关数学问题的能力.利用二次函数求最值，一般要具备3个条件：（1）图象的开口方向；（2）对称轴（顶点横坐标）；（3）自变量的取值范围.本题显然这3个条件都具备，所以是可以用二次函数来解决问题的.但本题字母较多，学生心里容易“乱”，不会把W看成y或x的二次函数.把y或x看成未知数（主元）都可以，关键是要确定一个下来（通常可以根据式子特点，选择简单一点的确定下来），从而利用二次函数的顶点坐标等知识解决问题.

由一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式知识我们知道：如果原方程有两个实数根，则必满足条件b2-4ac≥0.从形式上看，本题不是一元二次方程，用此方法的关键是学生要能大胆把原式看成关于y（或x也行）的一元二次方程，然后再化为一般式，还要能发现既然是求W的最小值，就说明原式中x，y是存在（或有意义）的，从而可以利用该隐含条件快速求出答案.

4 总结

配方法是初中学生需要熟练掌握的一种重要“武器”，也一直是近年中考的热点所在，只是2023年连云港的的中考试卷该题难度达到了新的高度.

纵观解答本题所用到的这3种方法，本质上也都用到了配方.第一种方法是“纯粹”的配方，但是需要作必要的拆项变形，怎么拆以及利用整体思想配方、多次配方会难倒相当部分学生.这就需要我们一线教师在平时的教学中把配方法讲深、讲透.

最值问题，用二次函数来解决也是常见的思路.但本题却不是“常规”的二次函数问题，学生需要能从该题中看到二次函数的“身影”，把W看成y或x的二次函数，从而用二次函数知识解决问题，这其实也是课程标准中提到的建模思想.学生学会建模，就掌握了一项重要解题的技能.对学生建模能力等核心素养的培养，我们广大一线教师应在平时的教学中予以足够的重视.

本文中所提出的解决问题的第3种方法——根的判别式法，显然是最简单的，但很少有学生能想到.究其原因，首先学生不易把原式“看成”一元二次方程，其次不易挖掘出本题的隐含条件“既然要求W的最小值，就说明原式中x，y是存在（或有意义）的，所以将原式看成关于y（或x）的一元二次方程后Δ≥0，从而整理得到W的最小值”.因此，教师除要培养学生前文提到的建模能力外，还要在平时的教学中引导学生学会挖掘题目的隐含条件，如果学生能做到这一点，往往会感觉题目的难度大幅下降了，本题就是最好的诠释.

本题的难度很大，解法也很多，作为压轴题也符合初中毕业考试选拔人才的要求，所以这是一道值得研究的好题.对于初中阶段的学生而言，笔者认为以上3种解法最为典型.到了高中甚至大学阶段的数学学习，我们还可以用偏导数、拉格朗日定理等很多方法，到了那个时候，学生如果还能想起本题的话，也是一件趣事.

落实新课程标准提出的培养学生的核心素养的要求，我们一直在路上.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.