类比法巧解一道物理难题

摘" 要：质点在复杂作用力下所做的运动，通常的分析方法是根据牛顿运动定律等写出动力学方程，求解此类动力学方程通常须运用大量微积分相关知识.对点电荷在库仑力作用下所做的运动，教师可引导学生通过与行星绕太阳运动规律进行“类比”，从而求解运动时间等特定问题，最后针对类比法在教学中的运用进行思考总结.

关键词：类比法；开普勒第三定律；点电荷；学科素养

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）22-0100-04

收稿日期：2024-05-05

作者简介：韩杨（1990.9—），男，安徽省长丰人，中学二级教师，从事高中物理教学研究.

《物理学难题集萃》（以下简称《集萃》）是高中生参与物理竞赛的重要参考书之一，其收录的不少经典问题，能很好地激发师生探究热情，引起深度思考.同时，该书中大量物理问题的求解需要用到矢量分析、微分方程等较深层次的高等数学知识，可以说对高中生来说很不友好，《集萃》第三部分【题1】即是一例.本文尝试通过类比法，运用中学数学知识，对一类复杂运动学问题进行求解，并思考对日常教学的启示.

1" 问题提出

例1" 真空中有两个点电荷q1和q2，它们的质量分别为m1和m2，位置矢量分别为r1和r2，只考虑其间的库仑相互作用.

（1）引入相对位矢r=r2-r1，试建立r（t）的微分方程.

（2）设t=0时刻，两点电荷均静止，相互间距为r0.若两点电荷电量异号，试问：它们何时相碰［1］？

2" 问题求解

《集萃》通过建立相对位矢r关于t的微分方程r（t），并令r（t）=0，即可求解出两点电荷相碰时刻.现将《集萃》给出的求解过程摘录如下.

（1）如图1所示，q1和q2的运动方程分别为：

m1r1··=-q1q24πε0r3r

m2r2··=q1q24πε0r3r

图1" 相距为r的点电荷q1和q2

由于q1、q2带异种电荷，r1··与r同向，故r前面的系数应为正，q1q2前应为负.两式相减，得：

r··=r2··-r1··=（1m1+1m2）q1q24πε0r3r

即

mr··=q1q24πε0r3r.①

式中：m为约化质量，即m=m1m2m1+m2.

（2）因t=0时，q1和q2静止，而后两点电荷将沿其连线做直线运动.r··与r反向，于是，式（1）可简化为

mr··=q1q24πε0r3r②

利用r··=dr·dt=dr·drdrdt=r·dr·dr代入（2）式，得

mr·dr·=q1q24πε0r2dr.

结合初始条件：t=0时，r=r0，r·=0得：

r·2=-q1q22πε0m（1r-1r0），因q1与q2异号，-q1q2gt;0，据题意知，r·lt;0，故：

r·=--q1q22πε0mr0-rr0r.③

把r·=drdt代入式（3），积分得：

∫rr0-rr0r0-rdr=∫t0-q1q22πε0mdt.④

做变量替换，令u=rr0，有 dr=2r0udu

则得r0∫rr0-rr01-rr0dr=r0∫u1-u·2r0udu1-u2

=r320（u1-u2+π2-arcsinu）. ⑤

联立④⑤得：

t=r3202πε0m-q1q2（rr01-rr0+π2-arcsinrr0）.

取r=0，得：

t=πr022πε0mr0-q1q2.

本题第（1）问“建立r（t）的微分方程”难度不大，接触过物理竞赛的同学一般都能顺利得到答案，并且为第（2）的解决作出了提示.同时该问题启发我们，对于两质点相遇问题可以通过建立质点的相对位矢关于时间的微分方程加以解决.

3" 问题的其他求解思路

本题（2）问也可利用变换参考系来求解，现将解法展示如下.由于q1、q2带异种电荷，q1q2前应为负.当q1和q2距离为r时，q1具有的加速度为a1=-q1q2m14πε0r3r，r为q2相对q1位移，如图1所示.选取相对q1静止的平动参考系，对q2有：

q1q24πε0r3r+m2q1q2m14πε0r3r=m2r··

整理即得到①式，下同.

4" “类比法”求解

以上的两种解题方案，在参考系的选取、模型建构的方式上有所不同，但基本思路都是建立点电荷的动力学方程，进而求解微分方程，这是求解动力学问题的常规思路.但不论哪一种方法，在求解时都要用到大量微积分相关知识，对普通中学生来说要求过高.接下来本文利用动量守恒定律以及“开普勒第三定律”等高中物理知识对本题第（2）问进行求解.

两点电荷q1和q2，只考虑其间的库仑相互作用，故q1和q2系统动量守恒：

m1v1-m2v2=0

v1、v2分别为q1、q2的速度大小，并规定q1的速度方向为正.则相遇时，q1和q2的位移大小x1、x2满足：

m1x1-m2x2=0⑥

x1+x2=r0⑦

得：x1=m2m1+m2r0，x2=m1m1+m2r0.

如图2所示，O点为相遇位置，也即q1和q2的质心，这是高中常见的“人船模型”问题.q1与O点相距x时，设此时q2距O点x′，q1加速度：a1=-q1q24πε0m1（x+x′）2.

图2" q1、q2与质心O

设在O点存在一点电荷Q，使得：

-q1q24πε0m1（x+x′）2=q1Q4πε0m1x2成立.

由动量守恒定律和上述对x1和x2的讨论不难得出：

m1x=m2x′.

于是：Q=-（m2m1+m2）2q2 与x和x′均无关，故点电荷q1的运动与其在固定点电荷Q的电场中运动等效.

现考虑q1在点电荷Q作用下的运动规律.我们已知在万有引力作用下，环绕天体绕中心天体沿圆轨道或椭圆轨道运动，并遵循开普勒第三定律：a3T2=k ，而 k=GM4π2，G为万有引力常量，M为中心天体质量.库仑力和万有引力都遵循平方反比定律，因而点电荷q1在固定点电荷Q的电场中也可沿圆周或椭圆运动.设q1绕Q做匀速圆周运动：

14πε0Qq1r2=m14π2T2r

得：r3T2=Qq116π3m1ε0.⑧

⑧式虽然是在点电荷匀速圆周运动时得到，通过与天体运动类比可以确定，当点电荷q1沿椭圆运动运动时也有类似结论，现总结如下.

点电荷q1在固定点电荷Q的电场中沿椭圆运动运动时，Q位于椭圆的一个焦点上，且点电荷q1在不同椭圆轨道上运动时均有：

a3T2=c ，c=Qq116π3m1ε0⑨

在本题中，点电荷q1是在Q的电场中由静止开始运动，轨迹是直线，在此我们需要做进一步的极限处理.如图3所示，随着椭圆离心率的增大，椭圆越来越“扁”，直至最终演变为直线段，“压扁”椭圆的长轴即为q1与Q的初始距离x1，q1运动至Q所在位置所用时间为其沿“压扁”椭圆运动周期T1的一半.据以上分析：

图3" 椭圆“压扁”为直线段

（x12）3T12=c=Qq116π3m1ε0.⑩

将x1=m2m1+m2r0，Q=-（m2m1+m2）2q2

代入⑩式得：

T1=πr02πε0mr0-q1q2.

故q1与q2所用时间：

t=T12=πr022πε0mr0-q1q2，

与动力学方程求解结果一致.

5" “类比法”对日常教学的启示

类比法是指在现有学习经验的基础上，通过比较两个对象发现对象间相似性，从而推理得出对象其他方面相似性的科学推理方法［2］.我们在运用类比法时，不仅关注对象间的相似属性，还关注对象间的差异；不仅要分析已知信息，还要对未知信息进行猜测、推理.挖掘教材、习题中应用类比法的案例，在课堂中建构类比法应用情境，是落实培养学生科学素养，尤其是训练科学思维能力的重要路径.

在物理概念、规律的学习过程中，以及物理学史中，类比法的应用不胜枚举.例如，学习静电场的相关概念时，首先将静电场与“重力场”类比，可以得到匀强电场电场力做功特点，进而得到静电场中电势能、电势的概念.再如学习描述电学元件特性的相关物理量——电阻、电容、电动势等，可以将概念引入的方法进行类比：通过导体的电流、电容器存储电荷量、电源非静电力做的功，分别与导体两端电压、电容器极板间电压、电源搬运的电荷量成正比，而比例系数取决于电学元件自身性质，从而提出描述电学元件自身属性的物理量.在物理规律的学习中，我们类比万有引力和库仑力表达式，由于万有引力和库仑力都遵循平方反比规律，最后推导得出相似规律：质量均匀分布球壳对其内部任一质点引力为零；电荷均匀分布球壳内部场强处处为零.而在物理学史中，类比法应用最成功的例子莫过于德布罗意对物质波粒二象性的阐释.

在教学实施过程中，教师应注意启发学生应用类比法，不能止于讲授类比对象之间的相似和区别，要围绕培养学生科学思维能力这一目标，有计划地设计教学活动［3］.例如若以本题作为习题课例题讲解，不妨设计下列教学环节：

表1" “类比法”教学活动设计

活动序列活动内容

活动1" 读题审题，问题聚焦

库仑力遵循平方反比定律，点电荷的运动不是此前学习的匀速、匀变速等任何一种特殊的直线运动.

活动2" 启发设问，层层推进

问题链：①什么力也遵循平方反比定律？②万有引力作用下质点运动的轨迹？

③点电荷在库仑力下可能的运动性质？

活动3" 深度类比，迁移创新问题链：①本题中，点电荷的运动能否等效成一个点电荷向某固定点电荷的运动？②点电荷运动轨迹为直线，该直线轨迹能否与椭圆轨道建立联系？③若将直线看成“压扁”的椭圆，固定点电荷的位置在哪？活动4" 独立探究，动手实践

指导学生完成等效固定点电荷电荷量、椭圆轨道半长轴三次方与周期平方比值等的计算.

活动5" 自评互评，应用反思

学生汇报分析运算结果，并将点电荷运动规律与开普勒第三定律比较.

只有通过多次的师生互动、生生互动，让学生深度参与到教学活动中，学科素养的培养才能有效落实.

值得一提的是，在运用类比法理解新概念、规律以及求解新问题的过程中，应特别注意类比对象之间的差异，这些差异往往导致推理得出的结论有所差异.仅仅 “比较”，而无“推理”，这样的类比是不合格的.例如在本题中，我们不能将电荷绕固定点电荷的运动规律与天体运动规律完全等同.开普勒第三定律中，k=4π2GM仅有中心天体决定，而⑨式表明，c与固定、环绕点电荷电荷量及质量均有关.于是我们不能得出“不同环绕电荷绕固定点电荷沿椭圆轨道运动的半长轴三次方与周期平方比值为定值”的结论，而只能说“同一环绕电荷在不同椭圆轨道运动时半长轴三次方与周期平方比值为定值”.归结起来，这是由于引力与两质点质量成正比，而库仑力与点电荷电荷量乘积成正比导致的.

6" 结束语

综上，在教学中挖掘类比法运用案例并设计符合学生需求的教学模式以达到培养学生科学素养的目标，符合新课程理念，更是契合了新高考对于关键能力考查的需求.

参考文献：［1］

舒幼生，胡望雨，陈秉乾.物理学难题集萃：上册［M］.合肥：中国科学技术大学出版社，2014：430-431.

［2］ 邵华. “类比+”教学方法在中学物理教学中的探究和实践［D］.青岛：青岛大学物理科学学院，2022：13.

［3］ 李林祖. 基于类比推理的高中物理观念构建研究［D］.上海：华东师范大学教师教育学院，2022：9.

［责任编辑：李" 璟］