多想少算：利用题目中隐含的几何意义解题

摘" 要：以典型例题来说明恰到好处地运用题目中隐含的几何意义解题，“化式为形”或“化形为式”，可使问题解决几何化、动态化、可视化，既能体现其操作简单、运算方便的特点，又能体现形象直观的优越性.

关键词：几何意义；数形转化；动态化；解题能力

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）22-0091-03

收稿日期：2024-05-05

作者简介：莫静波（1981.9—），吉林省梨树人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

高中数学中很多知识具有代数形式和几何形式的“双重性”，有些题目若只按照其代数形式的方向求解，会出现思路不清无从下手或计算繁杂的情况，但若能够通过巧妙构造几何量或几何图形，利用隐含的几何意义求解，常常会获得非常简明的处理办法［1］.但这些知识隐含的几何意义往往具有隐蔽性和灵活性，不易被发现、掌握．因此，笔者以典型例题来说明恰到好处地运用隐含的几何意义，对一些问题的解决卓有成效.该解法“化式为形”或“化形为式”，可使问题解决几何化、动态化、可视化，既能体现其操作简单、运算方便的特点，又能体现形象直观的优越性，为拓宽学生解题视野、提升解题能力起到辅助作用，实现“多想少算”.

1" 利用代数式隐含的几何意义

例1" 求y=（x+1）2+（lnx-2）2的值域.

分析" 本题题干简练，但从代数形式结构解题却很难入手，如果仔细观察函数解析式结构，可联想到两点间距离公式d=（x-a）2+（y-b）2，可发现“y”的几何意义是表示函数y=lnx上动点M到定点A（-1，2）的距离（如图1）.借助图象可知，当点M运动到点N处，即使得点N与点A的连线与点N处切线垂直时，点A到曲线y=lnx的距离最小，即为函数的最小值.

图1" 例1几何意义示意图

解析" 设切点为N（x0，lnx0），则切线斜率为k=f ′（x0）=1x0.

因为AN与切线垂直，则kAN=-x0.

则直线AN方程为y-lnx0=-x0（x-x0） .

把（-1，2）代入解得x0=1.

所以切点N为（1，0）.

所以AN=［1-（-1）］2+（0-2）2=22.

所以函数的值域为［22，+SymboleB@）.

点评" 两点间距离公式不仅可以正用公式，由给出的点的坐标求两点间的距离，还可以逆用公式.根据题目条件，设点的坐标，利用两点间的距离公式的几何意义，化“数”为“形”，借“形”解“数”，使数学问题几何化、直观化，借助动态变化寻找到解题的突破口.

2" 利用图形隐含的几何意义

例2" 在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），B为曲线y=1-x2上的动点，C为第一象限内的点，满足AB⊥AC，AB=AC，则线段OC的最大值是.

分析" 要解决这个问题，首先根据题意画出图象（图2），结合图象发现，本题中主要条件是AB⊥AC与AB=AC，刚好对应几何中最重要的两个要素：“角度”与“距离”.如果把它们结合在一起思考，就是“旋转”，思考涉及“旋转”的知识，就可联想到复数乘法的几何意义（旋转变换及伸缩变换）［2］.

复数乘法的几何意义：若z=r（cosθ+isinθ）（复数三角形式），则z0·z的结果为将复数z0按逆时针旋转θ，再把模长变为原来的r倍，复数乘法几何意义实际上是向量旋转和拉伸变换的合成.

图2" 例2几何意义示意图

解析" 由点B是曲线y=1-x2上的动点，可设B（cosα，sinα），α∈0，π，C（m，n），则 AC，AB对应的复数分别为

z1=m-2+n·i，z2=cosα-2+sinα·i.

由题可知z2=z1·（cos90°+isin90°）=z1·i" .

可得m=2+sinα，n=2-cosα.

所以m2+n2=（2+sinα）2+（2-cosα）2

=9+42sin（α-π4）.

因为α∈0，π，

所以m2+n2≤9+42=（1+22）2，当α=34π时等号成立.

因为OC=m2+n2，

所以OC的最大值为1+22.

点评" 本题利用复数乘法的几何意义，把描述对象几何关系转化为有效的代数形式，成为本题解题的关键.几何图形与复数虽然彼此形式不同，但它们均能反映同一客观事物的不同侧面，在复数乘法的几何意义中，揭示的是数之间的关系转化为向量（形） 之间的关系.反过来，图形中的位置关系，亦可借助乘法的几何意义转化为数之间的关系，即借助复数乘法的几何意义，化“形”为“数”，把形转化为有效的代数形式，解法更简明了.

3" 利用概念、公式隐含的几何意义

例3" 如图3是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形顶点称为“晶格点”.若A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点”处，且A，B位置如图3所示，则AB·CD的最大值是.

图3" 例3题图

分析" 表面上看，本题是考查向量数量积的最值和范围问题，是高考命题热点之一，并不陌生，但此题结合蜂巢图象背景， C，D的位置不确定，导致此题难以入手.如何确定C，D位置就是解决本题的关键点.

由于AB·CD取得最大值时的C，D两点位置暂时无法确定，那么我们将题目简化变为“任取C，D两点，求AB·CD的值”，通过放宽条件和所求的范围，寻找解题思路.去掉蜂巢背景，则如图4所示，由此图我们联想到了投影向量的几何意义.

图4" 投影向量示意图

一般地，如果两个向量不共起点，分别过点C，D作AB的垂线，垂足为点E，F，可知EF即为CD在AB上的投影向量，所以有AB·CD=AB·EF［2］.进一步整合有AB·CD=AB·EF=AB·EF，其中，AB和EF分别是两个有向线段的数量.由投影向量的几何意义可知，只有当CD与AB夹角是锐角，且CD在AB上的投影向量模最大时，AB·CD取得最大值，此题就转化为在AB上寻找投影线段最大的两个“晶格点”的问题.如图5所示，作AB的垂线，垂线沿AB方向运动，运动过程中，垂线经过蜂巢的第一个“晶格点”为点C，最后一个“晶格点”即为点D.C，D两点确定后，通过建系表示出相关向量，求解即可.

图5" 例3几何意义示意图

解析" 如图6所示建立平面直角坐标系，可得A（32，92），B（0，0），C（0，5），D（-3，0）.

则AB=（-32，-92），CD=（-3，-5）.

所以AB·CD=-32×（-3）+（-92）×（-5）=24.

所以 AB·CD的最大值是24.

图6" 建系示意图

点评" 本题涉及向量数量积的最值问题，我们要抓住向量数量积的几何本质，将问题转化为共线向量的数量积，借助图象，联想到投影向量的几何意义，化静为动，就可突破难点.

4" 结束语

以上仅是列举了利用题目中隐含的几何意义解决问题的一些应用，其实几何意义的应用远不止这些.利用隐含的几何意义解题关键是仔细观察问题的结构和图象特征，而后抽象出相应的几何意义，从而实现问题的转化.运行此种方法，

要熟悉各种条件隐含的几何意义，正确作出图象，再根据图象特征寻找解题途径.综上，利用几何意义解题可以加深理解，培养学生的发散思维，提高他们的分析问题能力和想象能力，加强知识间的相互联系，使知识融会贯通.学会利用几何图形建立直观，通过代数运算刻画规律，站在更高的位置上认识问题，拓宽视野，提升解题能力.

参考文献：

［1］

章建跃.利用几何图形建立直观通过代数运算刻画规律：“平面向量及其应用”内容分析与教学思考［J］.数学通报，2020，59（12）：4-13，29.

［2］ 黄鹏程.用几何法处理平面向量中最值问题［J］.中学数学教学，2020（03）：48-51.

［责任编辑：李" 璟］