初中数学应用题解题教学策略探索

【摘要】应用题教学能够帮助学生体验生活情境，促进学生将所学知识与实际生活相结合，提升学生解决和分析问题的能力.教师在教学中要帮助学生梳理解题步骤，归纳解题方法，渗透数学思想，提高解题能力.文章从巧用图表法梳理信息、善用类比法化繁为简、运用还原法突破难点三个方面探索了初中数学应用题的解题方法，以期发展学生的思维品质，提升学生的解题素养.

【关键词】应用题教学；解题步骤；解题方法

在初中数学诸多题型当中，应用题是通过情境创设运用知识解决问题的一种试题类型，具有综合性、复杂性等特点.应用题教学能够促进学生将知识与实际生活更加紧密地联系起来，强化知识体验，提升学生解决实际问题的能力.应用题教学一直以来都是初中数学教学的重点内容之一，也是学生学习中的难点.由于解决应用题需要学生具备阅读能力、综合分析能力和概括能力，导致学生在遇到应用题时常常束手无策.因此，教师要加强解题方法的指导，使学生掌握应用题的解题步骤和解题策略，增强学习信心，提升解题技能.

以上是一个宏观的阐述，这样的阐述有助于教师从宏观层面认识到应用题的特点以及相应的解题策略.但是对于一名站在讲台上面向学生进行教学的教师而言，仅有这样的宏观认识还是不够的.如果说宏观认识可以帮助教师确定方向的话，那么在确定了方向之后，还需要微观层面的具体策略及其运用，这样才能支撑起初中数学课堂上应用题的精彩教学.对应用题的解题策略进行研究实际上是一个老生常谈的话题，如果以“初中数学应用题解题策略”作为关键词去进行搜索，可以发现有着很多的文献.这些文献当中，有的是经验的总结，有的是面向新空间的探索，这些文献可以成为当下每一个初中数学教师进行应用题解题策略研究的基础，但与此同时，教师不能完全拘泥于已有的研究成果.其根本原因在于不同时代背景下的应用题有着显著的时代特征，作为初中数学教师，只有结合时代的需要进行研究，才能够让应用题的解题策略表现出强大的生命力.当前的初中数学教学是在核心素养背景之下进行的，发展学生的数学学科核心素养是包括应用题教学在内的所有课堂的任务，因此，教师在总结提炼数学应用题解题策略的时候，就需要以数学学科核心素养为引导，从学生数学学科核心素养能否得到培育的角度评价应用题的解决策略及其应用.本文就尝试在核心素养的宏观背景之下，从探索应用题的解题方法出发，帮助学生理清解题思路，形成相应的解题策略，提升学生的解题技能，并在此过程中促进学生数学学科核心素养的发展.

一、把握解题步骤，提高解题效率

学生在解答应用题时常常由于复杂的条件或者数量关系导致手足无措，思维混乱，进而影响了正确的解题.因此，提高学生解题效率的前提是让学生熟知必要的解题步骤，做到心中有数.解答应用题通常可以按照以下步骤进行：第一，审清试题信息，准确理解题意，寻找解题路径；第二，将未知量以直接或者间接的方式设为未知数；第三，抓住题目中的关键信息或者借助图表找出题干中的等量或者不等量关系；第四，根据数量关系列方程或者不等式，并对方程或者不等式进行求解；最后，检验解出的答案是否正确，特别是是否具有实际意义，在作答时还要特别注意单位的正确书写.

解答应用题时按照以上步骤进行分析思考，养成良好的解题习惯，不仅有助于学生正确解题，还能提高学生解答应用题的效率，增强学习信心.

把握解题步骤从而提高解题效率同样是一个传统说法.从数学知识运用的角度来看，尤其是从数学学科核心素养发展的角度来看，这样的要求实际上也可以获得新的内涵.如果说传统的把握解题步骤是为了让学生成功完成解题的话，那么笔者想强调的是，站在数学学科核心素养的角度去看解题步骤，应当是让学生对题目进行解析，即用数学的眼光去观察现实世界———题目中所呈现出的相应信息应当反映着现实世界，与此同时，解题的过程实际上是一个运用数学模型进行问题解决的过程，这里同样有着数学学科核心素养的内涵.上面所提到的步骤当中，所说的列方程或不等式等，这是初中数学解题常用的工具，但这种工具的价值不仅体现在解题上，更体现在帮助学生运用数学知识解决问题上.从解题到解决问题是一个质的变迁.学生在解题当中获得的认识与能力一旦迁移到解决问题的过程中，就意味着数学学科核心素养得到了发展.同时，把握解题步骤可以让学生形成一种认识，那就是一个问题的解决往往是需要严谨的步骤的，步骤越清晰、越严谨，那么问题解决也就越科学、越简便.

二、梳理解题方法，提升解题技能

应用题的难点在于信息复杂，涉及范围广，因此，学生提取信息难度大，常不知如何下手.作为数学考试中的常考题型，掌握应用题的解题技巧是提升学生数学学习力的重要一环.因此，教师要归纳解题方法，渗透解题技巧，提升学生的解题水平.

（一）巧用图表法梳理信息

应用题中的信息条件较为复杂，需要学生读懂题意，理清思路.图表法能够将题目中的信息进行梳理，通过直观地展示让学生对题目信息一目了然，从而找到解题的路径.特别是对于初中数学中的工程问题、行程问题和分配问题，应用图表法梳理信息能够轻松地进行解决.

案例1 行程问题

从北京到某地可以乘坐汽车或者坐火车，已知汽车的行驶路程为400千米，而火车的行驶路程为汽车行驶路程的1.3倍.

（1）汽车的行驶路程是多少？

（2）假设火车的平均时速为汽车平均时速的2.5倍，而乘坐火车从北京到某地所需的时间比乘坐汽车所需的时间少3时，火车的平均速度是多少？

解题分析 本题与学生的生活紧密相关，学生大多有乘坐汽车和火车的经历，对于路程和速度问题在小学阶段也都有涉猎，因此，这样的题型能够吸引学生的注意力.第（1）问可以根据题意直接作答：400×1.3=520（千米），第（1）问在计算过程中要保证结果的准确性，否则会影响第（2）问的作答.第（2）问则较为抽象，学生在解答中会有一定的难度.为了帮助学生迅速地理清题目中的信息，教师可以通过图表法将问题的所有要素呈现出来，再引导学生进行仔细的分析.本题要抓住的关键信息是“火车的平均时速为汽车平均时速的2.5倍”，因此，可以设汽车的平均速度为x千米/时.

最后将解得的结果进行检验并作答即可.

行程问题由于涉及的要素较多，学生常常难以理清，进而导致解题错误.而通过图表将题干中的信息和要素进行梳理归纳，则为学生理解题意打下了良好的基础.学生通过观察图表中的信息进行思考分析，可理清数量关系，从而实现正确的解答.因此，图表法能够帮助学生更加快速和准确地提炼题目中的信息，使学生根据题目条件建构等式，从而正确解答，掌握解题方法.

图表法是学生解答应用题的一个重要工具.与一般的文字信息不同的是，图表法在呈现信息的时候往往将规律蕴含其中，但这种规律学生并不容易直接发现，因此，发现规律的过程很大程度上决定了应用题能否得到成功解答.所以，在应用图表法进行应用题解题的时候，无论是题目本身所呈现的图表，还是学生借助于图表去处理应用题当中的信息，本质上都是应用题解决工具的选择.教师在实际教学的时候，帮助学生用好图表是关键所在，而用好图表的关键又在于将应用题当中的信息与图表结合起来，以确定图表当中应当显示哪些信息、如何显示这些信息.上面的图表中给出的信息就是普通列车和高铁的路程、速度等，用图表来呈现这些信息最大的好处就是可以表现出清晰的逻辑关系.在初中应用题解题的过程中，让学生直接面对图表是应用题解题的低阶水平，让学生自己去设计图表则代表着高阶水平.从低阶水平到高阶水平，实际上就对应着学生解题能力的提升.从数学学科核心素养发展的角度来看，运用图表法解答应用题，很大程度上反映着学生的思维水平，教师可以据此判断或引导学生“学会用数学的思维思考现实世界”.当然，这里有一个前提，那就是教师在选择或设计应用题的时候，要突破传统的思路，将应用题真正指向学生的生活，指向生活当中的实际问题.如果学生在面对实际问题的时候，也有运用图表法梳理实际问题当中的信息并寻找逻辑关系的意识，那就意味着数学学科核心素养的培育打开了一扇新的大门.

（二）善用类比法化繁为简

数学知识之间具有相互联系，解题时通过类比法进行观察和分析，从已有的知识和熟悉的问题出发进行联想和对比，将其转化为较为熟悉的类似问题，能够化繁为简，化难为易，实现问题的快速解决.

案例2 若a，b为方程x2+3x-1=0的根，并且a，b不相等，求3ab-2a-2b的值.

解题分析 这样的试题，学生一般会想到通过解方程进行解题.经过尝试，学生会发现，要求出a，b的值需要解两个方程，而a，b各有两个实数根，有四种情况，实数根也不是整数，计算过程非常复杂，大部分学生会觉得太麻烦，根本不想进行解题，解题中也容易出现错误.

因此，教师应引导学生进行仔细的观察，便能够从题目中迁移类比出一元二次方程根与系数之间的关系，从而找到解题的路径.首先，a和b为一元二次方程x2+3x-1=0的根，根据根与系数之间的关系可以得到a，b的和为-3，a，b的积为-1，由此可以将题干中的式子变形为：3ab-2（a+b）=3×（-1）-2×（-3）=3.

类比法是数学学习中的重要方法，可以帮助学生通过知识点之间的相似特征构建联系，从而建构知识网络，收到事倍功半的学习效果.教师在教学中引导学生通过类比法进行解题，可以帮助学生将复杂和陌生的问题进行转化，培养学生思维的灵活性，提升其数学学习力.站在初中生认知特点的角度来看类比法，可以发现类比法的价值之一就是可以降低学生的思维难度.学生将从对比对象当中所发现的逻辑关系迁移到应用题解决当中时，可以给其带来恍然大悟之感.当然，数学应用题有着自身的特色，类比法在数学应用题解答过程中的应用更多的是一种策略性的存在.初中生或许不需要知道解题策略这一概念，但一定要体验解题策略运用的过程，借助类比法解决应用题就是这样的过程.数学知识之间的类比可以促使学生举一反三，可以让学生发现更多数学知识之间的联系.从学习心理学的角度来看，这就是扩充了学生的知识组块，可以让学生在运用数学知识的时候视角更为宽阔，从而在解决数学应用题的时候也能够做到得心应手.这样的能力对应着数学学科核心素养中的数学模型建立与运用，反映了学生“运用数学语言表达现实世界”的素养.

（三）运用还原法突破难点

还原法是指从求解的问题出发进行逆向推理，从而寻找解题思路的过程.有些数学试题倘若通过一般的方法进行求解，计算过程非常复杂，甚至难以找到突破点，无从下手.因此，教师在讲解如何解题时可以引导学生从最后的结果出发，运用信息之间的关系以及数学知识之间的逻辑关系进行逆推，从而推算出结果，这种解决问题的方法我们称作还原法或者逆推法.

还原法就是从最后的结果进行逆向推理，从后往前进行倒推，逐步找到问题的突破点，最后得到答案.还原法可使原本通过顺向解题难以解决或者非常复杂的问题变得简便易懂，这符合学生的认知特点，可提升学生的解题素养，使学生学有所获，体会到数学学习的乐趣.还原法当中蕴含着丰富的逻辑思维，同时与学生的直觉思维密切相关.所谓还原法，本质上依然是寻找给出的信息与问题之间的关系.应用题与一般的题型不同，其综合性非常强，需要学生运用更多的数学知识以及逻辑关系进行解答，当学生通过顺向思维无法解答的时候，换一个角度从逆向的角度去思考，这本身就是一种解题策略.在应用题解决过程中，无论是顺向思维还是逆向思维，很关键的一点都是学生的自觉运用.因此，教师从主动引导到“被动指导”（即在学生有了还原法应用意识之后的引导）的切换，也反映了学生解答应用题水平的提高.

结 语

综上所述，突破初中数学应用题的难点对于提升学生的思维能力、发展学生的数学品质具有非常重要的作用.这既依赖于学生主体作用的发挥，也离不开教师主导作用的发挥.首先，教师在选择试题时要注意联系生活，符合学生的认知习惯，能够激发学生的学习兴趣.其次，教师在教学中要采用灵活多变的教学方法和科学的教学策略，以提高学生的解题能力，实现思维认知的突破.最后，教师要认识到提升学生解决应用题的能力并不是教学的最终目标，而是要通过解应用题提升学生的数学学习能力，因此，教师要以学生的发展为导向研究解题方法，渗透数学思想，真正提升学生运用数学知识解决问题的意识，在潜移默化中实现解题能力的提升.

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