中考尺规作图常见题型解法例析

摘要：尺规作图考查学生动手实践能力和运用数学知识解决问题的能力.中考对作图的考查，立足基础，注重联系实际，常与图形的证明、计算等结合起来，既考查学生尺规作图的动脑动手能力，又侧重考查他们多方位、多角度、多层次探究问题的发散思维能力.

关键词：基本作图；作三角形；对称作图；网格作图；作内切圆；作外接圆

尺规作图就是用没有刻度的直尺和圆规的作图.《义务教育数学课程标准（2022年版）》对尺规作图提出了明确的要求：①能用尺规完成以下基本作图.作一条线段等于已知线段；作一个角等于与已知角；作一个角的角平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线.②会利用基本作图作三角形；已知三边或两边及其夹角或两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形.③会利用基本作图完成“过不在同一直线上的三点作圆，作三角形的外接圆、内切圆，作圆的内接正方形和正六边形”.④在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法.由此可见，尺规作图不仅是初中数学的必学内容，更是学习几何、解决几何问题的一种十分有效方法与技巧[1].

近年来，几何作图题在各地的中考中已成为高频考点，值得我们高度重视.下面以2022年部分省市中考试题为例进行中考尺规作图常见题型的剖析.

1 尺规基本作图

例1 （2022年浙江省台州市中考试题）如图1，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，连接AD.用无刻度的直尺和圆规作出劣弧AD的中点E.

（保留作图痕迹，不写作法.）

解析：如图2，E就是所要作的AD的中点.

本题除上述作法外还有如下两种作法，图3、图4中的点E分别为所求.

方法与技巧：本题主要考查了根据等腰三角形、切线的性质用尺规作图的基本方法作图.本题的作图用了3种方法，技巧主要体现在根据等弧所对的圆周角相等，可以作出AD的垂直平分线、∠ABD的角平分线和∠AOD的角平分线.

2 用尺规作三角形并证明

例2 （2022年浙江省杭州市中考模拟冲刺试题）

如图5，已知△ABC，点D在边BC上，

∠ADB＝2∠C.

（1）尺规作图：作出点D.（不写作法，保留作图痕迹.）

（2）若∠A＝∠B+∠C，求证：D是BC中点.

（1）作法1：如图6，点D即为所求.

作法2：如图7，点D即为所求.

（2）证法一：如图7，连接AD.

∵∠ADB＝2∠C，∠ADB＝∠CAD+∠C，

∴∠C＝∠CAD.

∴AD＝CD.

∵∠BAC＝∠B+∠C，

∠BAC+∠B+∠C＝180°，

∴∠A＝90°.

∵∠DAB＝90°-∠CAD，∠B＝90°-∠C，

∴∠DAB＝∠B.

∴AD＝BD.

∴CD＝BD.

∴D是BC中点.

证法二：同证法一，∠C=∠CAD，AD=CD.

∵∠BAC＝∠B+∠C＝∠BAD+∠CAD，

∴∠BAD＝∠B.

∴AD＝BD.

∴CD＝BD.

∴D是BC中点.

方法与技巧：用尺规作三角形是最常见的中考作图题型.本题第（1）问作图的方法1，实际上就是过点D作出平行于△ABC边AB的平行线；方法2是根据已知条件∠ADB=2∠C，实际上是运用了三角形外角定理（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）.第（2）问主要利用等腰三角形和直角三角形的性质，灵活运用了等量代换、线段相等的证明方法.

3 利用对称特点作图

例3 （2022年浙江省宁波市中考试题）图8，图9都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，分别按要求画出图形.

（1）在图8中画出等腰三角形ABC，且点C在格点上.（画出一个即可.）

（2）在图9中画出以AB为边的菱形ABDE，且点D，E均在格点上.

解析：（1）如图10、图11（答案不唯一）.

（2）如图12.

方法与技巧：本题考查了轴对称图形、中心对称图形的特点，只要熟练掌握特殊三角形与特殊四边形的性质就能够准确地在网格上画出符合条件的图形.

4 在网格上作图

例4 （2022年哈尔滨市中考试题）如图13，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点和线段EF的端点均在小正方形的顶点上.

（1）在方格纸中画出△ADC，使△ADC与△ABC关于直线AC对称（点D在小正方形的顶点上）；

（2）在方格纸中画出以线段EF为一边的平行四边形EFGH（点G，H均在小正方形的顶点上），且平行四边形EFGH的面积为4.连接DH，请直接写出线段DH的长.

解析：（1）如图14.

（2）由图14，可知

DH=32+42=5.

方法与技巧：网格内的作图问题也是常见的中考作图题，解题的关键是找准关键性的格点，挖掘出网格中隐含的数量关系.本题主要考查了考生利用轴对称变换、平行四边形的性质作图的动手能力；求线段的长度又能检测考生能否灵活运用勾股定理，准确画出图形是解答本题的关键.

5 作内切圆并求面积

例5 （2022年绥化市中考试题）已知△ABC（如图15）.

（1）尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O.（只保留作图痕迹，不写作法和证明.）

（2）如果△ABC的周长为14 cm，内切圆的半径为1.3 cm，求△ABC的面积.

解析：（1）如图16所示，O即为所求作的圆心.

（2）如图17所示，连接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，D，E，F分别为垂足.

∵内切圆的半径为1.3 cm，

∴OD=OF=OE=1.3 cm.

∵AB+BC+AC=14 cm，

∴S△ABC=S△AOB+S△COB+S△AOC=12×AB×OD+12×BC×OE+12×AC×OF

=12×1.3×（AB+BC+AC）=12×1.3×14=9.1（cm2）.

故△ABC的面积为9.1 cm2.

方法与技巧：本题考查了利用角平分线的性质用尺规作三角形内切圆的技巧及运用割补法求几何图形的面积等相关知识点，能够将角平分线的性质与三角形的内切圆相结合是解决本题的关键.第（1）小题作图的根据是“角平分线的交点即为三角形内切圆的圆心”，故只要作出两个角的角平分线即可；第（2）小题利用割补法，连接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，这样将△ABC分成三个小三角形，这三个小三角形分别以△ABC的三边为底，高为内切圆的半径，利用提取公因式法即可将周长代入，进而求出三角形的面积.

6 作外接圆并求值

例6 （2022年甘肃省平凉市中考模拟试题）如图18，图19，已知锐角△ABC中，AC=BC.

（1）请在图18中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O.（不写作法，保留作图痕迹.）

（2）在（1）的条件下，若AB=485，⊙O的半径为5，则sin B=.（如需画草图，请使用图19.）

解析：（1）如图20所示.

（2）连接OA.

∵AC=BC，

∠ACB的平分线为CD，

∴AD=BD=12AB=245，

CD⊥AB.

∵⊙O的半径为5，

∴OD=OA2－AD2=52－2452=75.

∴CD=CO+OD=5+75=325.

∴BC=BD2+CD2=2452+3252=8.

∴sin B=CDBC=3258=45

.

方法与技巧：本题主要考查尺规基本作图，涉及到等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义等知识点，理解三角形外接圆的圆心是三角形各边中垂线的交点，是解题的关键.

第（1）问，按照尺规作角平分线的步骤，即可作∠ACB的平分线CD，作出AC的中垂线交CD于点O，再以点O为圆心，OC为半径，画圆即可；第（2）问连接OA，根据等腰三角形的性质得AD=BD=245，由CD⊥AB，利用勾股定理求出OD，BC，进而即可求解.

7 作几何体的三视图

例7 （2022年陕西省西安市铁一中模拟试题）校园体育场的东侧有一个由3个相同的立方块搭建而成的升旗台（如图21），试画出它的主视图和俯视图.

解析：图21对应的主视图及俯视图如图22所示.

方法与技巧：本题旨在考查考生对空间与平面之间相互关系的理解与把握，侧重考查几何体与其三视图、展开图之间的转化能力.从正面看到的平面图就是主视图，从上往下看到的平面图形则是俯视图.

从全国范围来看，与尺规作图有关的题型有很多，近年来有些省市还推出了一些设计新颖、富有创意的新题型.尺规作图考查的知识点多、范围广，涵盖了各种题型，尤其是在解答题中，会作图、准确地作出图形已成为解题的必备条件和突破口.因此，教师在平时的教学和复习备考中，要强化学生作图的基本功训练，不仅要求学生会尺规作图，还要求学生明白尺规作图的道理[2].作图的目的是为了解题，要引导学生在数形结合思想的指导下，激活思维，不断开拓思路，通过作图和推理分析，能够顺利地找到解题的突破口与最优方法.

参考文献：

[1]吴春林.浅谈初中数学画图、作图教学[J].数理化解题研究（初中版），2010（11）：21-22.

[2]赵渊.运用尺规作图培养学生的深度思维[J].新校园，2022（11）：19-20，38.