中考数学探究性问题解题技巧初探

摘要：中考数学探究性问题是近年来出现的一种新题型，侧重考查考生的归纳、猜想、探索和发现问题、解决问题的综合能力.本文中结合浙江省部分地市最新中考试题，通过对题型的归类与解析，探讨和总结了探究性问题的答题方法与技巧.

关键词：函数应用型；数字规律型；拓展延伸型；证明图形关系；数形结合与转化

近年来，浙江省各地的中考数学中出现了一些新颖别致、具有创新意识和创新思维的探究性题型，这类题型侧重考查学生独立思考、探索和探究问题、解决问题的综合能力，充分体现了新课改“由知识向能力转变”的改革精神.由于这类题型要求学生具有临场阅读、提取信息和进行信息加工、处理以及解决问题的综合能力，试题既没有固定的模式，也没有现成的答题方法和套路可用，所以大多数考生都因一时找不到解题思路和突破口而产生了惧怕、放弃的心理[1].因此，帮助学生在熟悉探究性问题题型的基础上，树立信心，消除畏难情绪，能在考场上镇定快速地找到解题思路和突破口，是我们初中数学教师急待探讨和解决的问题.

1 函数应用型

例1 （2022年浙江省温州市中考试题）根据以下素材（见表1），探索完成任务：

解析：任务1：以拱顶为原点，建立如图4所示的平面直角坐标系，则顶点为（0，0），且经过点（10，－5）.

设该抛物线的函数表达式为y=ax2（a≠0），

则有－5=100a，解得

a=－120.

故该抛物线的函数表达式为y=－120x2.

任务2：由于水位再上涨1.8 m达到最高，灯笼底部距离水面至少1 m，灯笼长0.4 m，因此

悬挂点的纵坐标y≥－5+1.8+1+0.4=－1.8.

所以悬挂点的纵坐标的最小值是－1.8.

令y=－1.8，由－1.8=－120x2，解得x1=6或x2=－6.

故悬挂点的横坐标取值范围是－6≤x≤6.

任务3：有以下两种设计方案.

方案一：从抛物线顶点处开始悬挂灯笼.

由于－6≤x≤6，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为1.6 m，若顶点一侧挂4盏灯笼，则1.6×4gt;6；

若顶点一侧挂3盏灯笼，则1.6×3lt;6.

因此顶点一侧最多可挂3盏灯笼.又挂满灯笼后成轴对称分布，可以共可挂7盏灯笼.

故最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是－4.8.

方案二：从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为0.8 m.

若顶点一侧挂5盏灯笼，则0.8+1.6×4gt;6；

若顶点一侧挂4盏灯笼，则0.8+1.6×3lt;6.

因此顶点一侧最多可挂4盏灯笼.

又挂满灯笼后成轴对称分布，所以共可挂8盏灯笼.

故最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是－5.6.

思路与技巧：本题考查了二次函数的应用，根据题意建立坐标系，熟练运用二次函数的有关性质是解题的关键.其中任务1，以拱顶为原点，建立平面直角坐标系，即可用待定系数法求出解析式；

任务2，根据题意求出悬挂点的纵坐标，再代入函数解析式即可求出横坐标的范围；

任务三，分情况讨论，有“从顶点处悬挂”和“从对称轴两侧开始悬挂”两种设计方案.

2 数字规律型

例2 （2022年浙江省嘉兴市中考试题）设a5是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）.例如，当a=4时，a5表示的两位数是45.

（1）尝试：

①当a=1时，152＝225＝1×2×100＋25；

②当a=2时，252＝625＝2×3×100＋25；

③当a=3时，352＝1 225＝；

…………

（2）归纳：a52与100a（a+1）+25有怎样的大小关系？试说明理由.

（3）运用：若a52与100a的差为2 525，求a的值.

解析：（1）当a=3时，352=1 225=3×4×100+25.

（2）a52与100a（a+1）+25相等.理由如下：

a52=（10a+5）2

=100a2+100a+25

=100a（a+1）+25.

（3）由a52与100a的差为2 525，得

100a2+100a+25－100a=2 525.

整理得100a2=2500，解得a=±5.

又1≤a≤9，所以a=5.

思路与技巧：本题考查的是数字的规律探究，按照“尝试—归纳—运用”的顺序与思路，运用完全平方公式、多项式乘法、平方根的含义等来设方程、解方程，其中充分理解题意、列出运算式或方程是破解本题的关键.

3 拓展延伸型

例3 （2022年浙江省宁波慈溪市中考模拟试题）

【证明体验】（1）如图5，在△ABC和△BDE中，点A，B，D在同一直线上，∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，求证：△ABC∽△DEB.

（2）如图6，图7，AD＝20，B是线段AD上的点，AC⊥AD，AC＝4，连接BC，M为BC中点，将线段BM绕点B顺时针旋转90°至BE，连接DE.

【思考探究】①如图6，当DE=22ME时，求AB的长.

【拓展延伸】②如图7，G是CA延长线上一点，且AG＝8，连接GE，∠G＝∠D，求ED的长.

（1）证明：∵∠A＝90°，

∠CBE＝90°，

∴∠C＋∠CBA＝90°，∠CBA＋∠DBE＝90°.

∴∠C＝∠DBE（同角的余角相等）.

又∠A＝∠D＝90°，

∴△ABC∽△DEB.

（2）解：①因为点M绕点B顺时针旋转90°至点E，M为BC中点，

所以△BME为等腰直角三角形，且BEBC=BMBC=12，

则BE=22ME.又DE=22ME，所以BE=DE.

如图8，过点E作EF⊥AD，垂足为F，则BF＝DF.

由∠A＝∠CBE＝∠BFE＝90°，结合（1）得△ABC∽△FEB，则BFAC=BEBC=12.又AC＝4，则BF＝2.

故AB＝AD－BF－FD＝20－2－2＝16.

②如图9，过点M作AD的垂线交AD于点H，过点E作AD的垂线交AD于点F，过点D作DP⊥AD，过点E作NP⊥DP，交AC的延长线于点N.

由M为BC中点，MH∥AC，得MHAC=BMBC=BHAB=12.

所以MH=12AC=2，BH＝AH.

由∠MHB＝∠MBE＝∠BFE＝90°，结合（1）可得△HBM∽△FEB.

又MB＝EB，所以

△MHB≌△BFE.

所以BF＝MH＝2，EF＝BH.

设EF＝x，则DP＝x，BH＝AH＝x，EP＝FD＝20－2－2x＝18－2x，GN＝x＋8，NE＝AF＝2x＋2.

易证得△NGE∽△PED，则有

PENG=PDNE，即18－2xx+8=x2x+2，解得x1=6，x2=－65（舍去），所以FD＝18－2x＝6.

故ED=EF2+FD2=62+62=62.

思路与技巧：本题是解三角形问题的拓展延伸，解题时要用到相似三角形的性质与判定、同角的余角相等、旋转、等腰三角形、全等三角形的性质与判定等相关知识，牢固掌握并灵活运用这些知识点，通过分析题目的已知条件恰当地作出辅助线，能根据三角形相似的性质列出方程是解题的关键.

4 研究证明图形关系型

例4 （2022年浙江省台州市中考试题）图10中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图11，在正方形ABCD各边上分别取点B1，C1，D1，A1，使AB1=BC1=CD1=DA1=45AB，依次连接它们，得到四边形A1B1C1D1；

再在四边形A1B1C1D1各边上分别取点B2，C2，D2，A2，使A1B2=B1C2=C1D2=D1A2=45A1B1，依次连接它们，得到四边形A2B2C2D2；……如此继续下去，便得到四条螺旋折线.

（1）求证：四边形A1B1C1D1是正方形；

（2）求A1B1AB的值；

（3）请研究螺旋折线BB1B2B3……中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明.

解析：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠A=∠B=90°，又AB1=BC1=CD1=DA1=45AB，

∴AA1=BB1=15AB.

∴△AB1A1≌△BC1B1.

∴A1B1=B1C1，∠AB1A1=∠BC1B1.

又∠BC1B1+∠BB1C1=90°，

∴∠BB1C1+∠AB1A1=90°.

∴∠A1B1C1=90°.

同理，可证B1C1=C1D1=D1A1=A1B1.

∴四边形A1B1C1D1是正方形.

（2）由AB1=BC1=CD1=DA1=45AB，设AB=5a，则AB1=4a.

∴B1B=AA1=a.

∴由勾股定理，得A1B1=17a.

∴A1B1AB=17a5a=175.

（3）结论1：螺旋折线BB1B2B3……中相邻线段的比均为51717或175.

证明：因为AB1=45AB，所以BB1=15AB.

同理，B1B2=15A1B1，故B1BB1B2=ABA1B1=51717.

同理，可得B1B2B2B3=51717，……

故螺旋折线BB1B2B3……中相邻线段的比均为51717或175.

结论2：螺旋折线BB1B2B3…中相邻线段的夹角的度数不变（证明略）.

思路与技巧：本题考查了图形变化关系的探究证明，涉及到正方形、三角形（相似与全等）的性质与判定、勾股定理等知识，按照作图方法的提示来研究和证明相邻线段之间的关系是解题的突破口.

综上所述，浙江省的中考数学探究性题型具有明显的特征，大多是以“提出问题-探究问题-解决问题”为主线来设计的，解题也可以采用“操作-猜想-分析-实验-推理-归纳-发现”这样的思路来考虑.当然，探究性问题中往往涉及代数与几何交叉的多个知识点，综合性很强[2]，这就要求我们在解题时要运用数形结合和转化的思想来研究问题，把相关的知识点串联、贯通起来，这样才能做到思路豁然，左右逢源，快速地找到解题的突破口.

参考文献：

[1]赵亚军.数学探究中彰显问题意识[J].数学之友，2022（7）：36-37.

[2]周晓瑜.初中数学探究性问题开放性教学实践与反思——以中考第一轮“图形与几何”复习为例[J].中学数学，2021（6）：39-40.