初中几何常见错误及应对策略

在解决几何问题时，大多会将文字语言翻译成图形语言，借助图形实现化抽象为具体、化繁为简的效果.不过图形虽然直观、形象，但是其缺乏一定的严谨性，有时在解题时也会被图形的“假象”所蒙蔽，从而影响解题思路和解题效果.以下笔者结合教学实际归纳总结初中几何常见的错误类型，以期通过对错误的深入剖析加深对几何内容的理解，训练学生数学思维，提高学生解题能力.

1 负迁移错误

数学学习也可以理解为知识、方法、经验的迁移过程，培养学生数学迁移能力是数学教学的一项重要教学使命.数学知识是丰富多彩的，学校里不可能学完所有的知识和技能，因此教学中要重视学生迁移能力的培养，以此逐渐提升学生分析、解决问题的能力，让学生获得可持续学习的能力.不过在实际教学中，也存在负迁移的情况，进而影响解题效果.之所以学生在学习中产生负迁移的情况，其主要原因是学生对知识的理解和掌握不够全面，并没有将知识点学懂、吃透，从而影响了解题效果.

例1 如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，点F在AD延长线上，且DF=BE.

（1）求证：CE=CF；

（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请结合问题（1）的结论证明：GE=BE+GD;

（3）运用（1）（2）解答积累的知识和经验，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BCgt;AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求S梯形ABCD.

对于第（1）问和第（2）问，学生可以结合证明三角形全等的经验顺利地证明结论，但是在证明第（3）问时，很多学生却犯了难.前面两个问题的设计其目的是让学生发现图形间的相似，这样学生就可以过点C作CG⊥AD，交AD延长线于G，从而构造出正方形，以此结合第（2）问的结论得到ED=BE+DG，即可求得DG=6.在此基础上根据勾股定理求得AB=12，问题即可获解.不过从实际反馈来看，很多学生并没有在问题（1）和问题（2）的解决中受到启发，却受到了线段不同、角度不同、图形不同等信息的干扰，因出现负迁移的现象而造成思路混乱，影响解题效果.

应对策略：在实际教学过程中，教师要提供时间让学生去观察、去操作、去思考、去感悟，多让学生画一画、量一量，并合理地进行启发和指导，以此最大限度地发挥正迁移作用，克服定式思维的干扰，提高解题效果.

2 知识性错误

审题是解题的第一步，也是关键的一步.在平时解题时，要重视培养学生审题习惯，要明确条件，弄清题意，切勿凭空想象、主观臆造.在解决几何问题时大多会给出图形，部分学生常常通过观察直接猜想已知或结论，使得在证明过程中因依据不充分而引发错误.要知道数学是一门严谨的学科，几何的证明每步都要有理有据，以此进行科学的推理和论证.

例2 如图4，l1∥l2，BF∥AE，DF=CE，下面四个结论中正确的是（只填序号）.

①DF∥CE；②AE=BF;③S四边形DCEF=S四边形ABFE；④S△DBF=S△ACE.

例2难度不大，但是具有一定的综合性.在解题中需要理解三角形的定义、性质和平行四边形的定义、性质、判定定理等内容，学生若基础知识掌握不牢很容易出现错误.另外，题目中给出的图形具有一定的特殊性，这样学生在解题时会受其干扰而出现主观臆断，从而引发了错误.认真分析错因不难发现，部分学生依据“l1∥l2”“DF=CE”这两个条件直接判定四边形EFDC是平行四边形，从而认为①④结论也成立.要知道等腰梯形同样具有一组对边平行，另一组对边相等的特征.可见学生在解题时受到了图形的干扰，加之学生对平行四边形的定义及判定定理掌握不牢而出现了论证不充分，从而引发了错误.

应对策略：基于以上问题，教师在平时教学中不仅要引导学生认真审题，还要注重基础知识教学，以此有效规避解题中出现主观臆造，提高解题准确率.

3 策略性错误

数学猜想虽然是以一定的数学事实为依据，但是也具有一定的主观性，因此在解题的过程中需要进一步寻求证据，从而形成正确的解题策略.另外，受传统“题海战术”的束缚，学生在解题过程中容易产生思维定式，从而陷入误区，难以形成正确的解答.教学中，教师应进行有效的启发和指导，帮助学生跳出思维定式的干扰，学会解决问题的策略.

例3 已知圆O的半径为r，A，B，C为圆O上的点，直线AD⊥直线BC于D，直线BE⊥直线AC于点E，直线AD与直线BE相交于点H.若BH=3AC，则∠ABC所对的弧长是多少？

例3具有一定的综合性，既考查学生的基础知识，又考查学生数学语言的转化能力.在解题的过程中，学生首先要根据已知画出草图，然后根据草图寻找解题策略.这样若学生画草图时出现错误，很可能会思维受阻，从而影响解题效果.在画草图的过程中，大多学生是先画出A，B，C三点在圆上的大概位置，然后根据题设信息画出相关的垂线或相交线等，即得到如图5所示的草图.

图5中忽视了BH=3AC这一条件，显然图形是错误的，这样在错误的图形上探究也很难形成正确的解题策略.出现错误后，教师预留时间让学生继续观察，寻求解决策略.学生提出尝试移动BC的位置，通过移动发现，BC越往下移，BC越短，AC越长，显然不符合题意，从而达成共识，将BC向上移，从而得到了如图6所示的草图.大多学生得到图6后就草草了事，其实认真分析不难发现，作图时不仅可以以BC为底，也可以以AC为底，显然以AC为底的图7也符合题意.另外，在作图时发现，也有部分学生审题不清，将题设中的直线看成了线段，因而画图时出现错误，影响解题效果.在解题的过程中，要准确把握题设信息，并结合题设信息把图画全，这样才能有效避免出现错解或漏解的情况，有效提高解题准确率.

应对策略：画图是解决几何问题的关键一步，其在解题中的价值是不言而喻的.在日常教学中，教师要重视学生画图能力的训练，以此培养学生画图、识图能力，提高学生直观想象素养，提升解题效率.

4 逻辑性错误

数学是一门逻辑性较强的学科，能够充分锻炼学生的逻辑思维能力.受传统教学模式的影响，初中数学教学大多以“讲授＋练习”的方式呈现，使得学生对公式、定理等基础知识的理解不够深刻，容易忽视它们的适用范围及隐含条件，从而出现“想当然”的情况.另外，受“题海战术”的影响，学生在解题的过程中容易出现生搬硬套，从而因违反逻辑关系而造成错误.

例4 如图8，在矩形ABCD中，AD=2DC，点E在BC上，且AE=AD，求∠EDC的度数.

从学生解题反馈来看，部分学生给出了这样的解题过程：由AE=AD，可知△ADE为等腰三角形，所以∠EDC=∠DAE.又AD=2DC，∠B=90°，所以∠AEB=30°，则∠EDC=30°.

从以上解题过程中可以看出，学生直接得到∠EDC=∠DAE这一关系显然有些突兀，应该给出详细的说明.课后通过追问了解到，学生根据已知得∠EDC+ADE=90°，而∠ADE+EAD=90°，所以∠EDC=∠DAE.继续追问学生是根据什么得到∠ADE+∠EAD=90°，学生却说根据观察得到的，解题时出现了“想当然”的情况，使得问题的解决缺少逻辑性和严谨性，影响解题效果.

应对策略：基于解题时“想当然”的情况的发生，教师要重视加强学生的逻辑思维训练，以此有效规避“假象”的干扰，培养思维的严密性，提升数学推理能力.

5 心理性错误

在教学中常常会遇到这样的情况：有些学生在平时练习和考试时成绩非常突出，但是大考时却发挥失常.其实以上现象的出现是与学生的心理素质息息相关，大考时学生因压力大而紧张，因而在解题时大脑中或是思路混乱，或是一片空白，影响解题效果.

应对策略：在日常教学中，教师要关注学生的心理变化，要多给学生一些鼓励，多给学生一些自主思考、合作交流的时间，锻炼学生抗干扰和耐挫折的能力，培养学生良好的心理素养，消除学生的急躁、焦虑等负面情绪，让学生茁壮地成长.

总之，在日常教学中，教师要重视基本功训练，让学生学会理性分析、周密思考，帮助学生养成良好的审题习惯、画图习惯，重视引导学生揭示问题的本质，帮助学生消除负面情绪，切实提高学生解题能力.