一道求双曲线方程问题的多解法探究与变式

摘 要：以一道2023年的高考数学题为例，从五个不同的视角深入探究并对其进行变式拓展，寻求不同的解题方法，反思解题过程，对比研究各解法的优劣，挖掘各解法之间的内在联系.通过一题多解的教学展示与教学反思，引导并培养学生的发散思维、创新思维，发展学生在解高考题中的灵活应变能力.

关键词：双曲线; 标准方程;一题多解

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）19-0006-04

双曲线是高中解析几何的重要内容，求解双曲线的方程是高考的热点题型之一.此类高考题大多具有较强的综合性，往往低起点、入口多、方法灵活，能很好地考查学生的逻辑推理、数学运算、数学抽象、直观想象等数学核心素养.同时也涉及待定系数法、等价转化法、数形结合法，设而不求法等数学方法的考查.从高考选拔角度来看，这类题有很好的区分度和一定的难度，具有良好的选拔功能.求解此类题目时，需要学生具有较强的数学运算能力和图形识别能力，更需要能够进行合理猜想和推理论证的逻辑思维能力[1].

1 试题呈现

试题 （2023年高考数学天津卷第9题）如图1所示，双曲线x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为点P，已知PF2=2，直线PF1的斜率为24，则双曲线的方程为（" ）.

A.x28-y24=1"" B.x24-y28=1

C.x24-y22=1D.x22-y24=1图1 2023年高考数学天津卷第9题图

2 多解探究

视角1 坐标法.

解法1 因为F2（c，0），不妨设渐近线方程为y=bax，即bx-ay=0.

所以|PF2|=|bc|a2+b2=bcc=b.

所以b=2，|OF2|=c.

因为12ab=12c·yP，

所以yP=abc.

所以tanθ=yPxP=（ab/c）xP=ba.

所以xP=a2c.

所以P（a2c，abc）.

因为F1（-c，0），所以kPF1=ab/ca2/c+c=aba2+c2=2aa2+a2+4=aa2+2=24.

所以2（a2+2）=4a，解得a=2.所以双曲线的方程为x22-y24=1.故选D.

点评 根据已知条件，结合双曲线的几何性质，通过计算得到点P，F1的坐标，然后利用直线PF1的斜率公式，建立关于a的方程，解方程即得双曲线方程.

视角2 几何法+正弦定理.

解法2 如图1所示，F2（c，0），不妨设渐近线方程为y=bax，即bx-ay=0.

则|PF2|=|bc|a2+b2=bcc=b.

所以b=2，且|PO|=|OF2|2-|PF2|2=c2-b2=a.

设∠PF1F2=α，∠F1PO=β，则tanα=24.所以sinα=13.

在△PF1O中，由正弦定理可得POsinα=F1Osinβ，

即asinα=csinβ.

所以sinβ=c3a①

在△PF1F2中，由正弦定理可得PF2sinα=F1F2sin（β+π/2），

即bsinα=2csin（β+π/2）.

所以cosβ=c3.②

①2+②2，得c29a2+c29=1.③

又c2=a2+4，④

由③④得，a2+4a2=4，解得a2=2.

又b=2，所以双曲线的方程为x22-y24=1.

故选D.

点评 由双曲线的几何性质，容易判断双曲线的焦点到渐近线的距离为b，即b=2.再分别研究△PF1O与△PF1F2，利用正弦定理得到a，b，c的关系，再结合双曲线的几何性质，求出a（或a2），即可得到双曲线的方程.

视角3 几何法+构造直角三角形.

解法3 如图2所示，由已知可得，PF2=b=2.

在△OPF2中，由面积公式，得

a·b=PB·c.

所以PB=abc.

再由a2=OB·c，得OB=a2c.

所以tan∠PF1F2=PBF1B=2a/cc+a2/c=24.⑤

又因为a2+22=c2，⑥

由⑤⑥，得c2=6，a2=2.

所以x22-y24=1.

故选D.

点评 借助△OPF2为直角三角形，且PB⊥OF2，根据相似比得到OB，PB，进而明确BF2，利用解直角三角形得到tan∠PF1F2=PBF1B，转化为a，b，c的关系，再由双曲线的几何性质，迅速得到双曲线方程.

视角4" 几何法+余弦定理.

解法4 如图3，因为PF2=2，所以b=2.

在△PF1F2中，

PF21=4c2+4-2·2c·2·cos∠PF2F1

=4c2+4-8c·2c

=4c2-12，⑦

又因为kPF2=24，所以tan∠PF1F2=24.

所以cos∠PF1F2=223.

又cos∠PF1F2=PF21+4c2-42PF1·2c=223，⑧

联立⑦⑧，解得c=6.

所以x22-y24=1.

故选D.

点评 在△PF1F2中，利用余弦定理PF21=4c2+4-2·2c·2·cos∠PF2F1和余弦定理PF22=PF21+4c2-2PF1·2c·cos∠PF1F2，建立等量关系，联立方程组，解出C的值，即得双曲线方程.

视角5 几何法+平行四边形的几何性质+正弦定理.

解法5 设PF1=x，由平行四边形性质得

（2PO）2+F1F22=2（PF21+PF22）.

所以（2a）2+（2c）2=2（4+x2）.

即x=2a2+2c2-4.

在△PF1F2中，有PF1sin∠PF2F1=PF2sin∠PF1F2.

所以2a2+2c2-4a/c=21/3.

所以a4-4a2+4=0.解得a2=2.

故x22-y24=1.

故选D.

点评 由O为中点，借助平行四边形的性质，可得（2PO）2+F1F22=2（PF21+PF22），然后在△PF1F2中利用正弦定理建立等量关系，得到a4-4a2+4=0，解出a2=2，即得双曲线方程.

3 一题多变

变式1 如图1所示，已知双曲线x2a2-y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2.过右焦点F2作双曲线其中一条渐近线的垂线，垂足为点P，连接PF1.若|PF1|＝2|PF2|，则该双曲线的离心率为.

解析 根据题意由双曲线的性质：焦点到渐近线的距离等于b可得：|PF2|＝b.

则|PF1|＝2|PF2|＝2b.

在Rt△OPF2中，|OP|＝c2-b2＝a，

|OF1|＝c，cos∠F1OP＝-

ac，

由余弦定理可知a2+c2-4b22ac=-ac.

又c2＝a2+b2，得4a2＝3b2.

即c2＝73a2.即e＝ac=213

点评 由双曲线的性质得|PF2|＝b，cos∠F1OP＝

-ac，由此利用余弦定理，化简可得a，b，c的关系，即可得到离心率.

变式2 如图1所示，设O为坐标原点，双曲线C：x2a2-y2b2gt;1（agt;0，bgt;0）的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为e=3，PF2垂直于双曲线的渐近线，垂足为点P，则

|PF1||OP|=.

解析 设双曲线的一条渐近线为y＝bax，过点F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为点P，则|PF2|＝b.

则|OP|＝a，cos∠PF2O＝

bc.

在△PF1F2中，

cos∠PF2O＝

b2+（2c）2-|PF1|22b·2c=bc.

得|PF1|2＝4c2-3b2＝4（a2+b）2-3b2＝4a2+b2.

因为e＝ca=3，得

c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=3.

所以b2a2=2.

则|PF1||OP|=

4a2+b2a=4a2+b2a2=4+

b2a2=4+2=6.

点评 作出图象，求出相应的长度，根据离心率的关系进行转化求解即可.

变式3 如图4所示，已知F1，F2是双曲线C：

x2a2-y2b2gt;1（agt;0，bgt;0）

的左、右焦点，点A是C的左顶点，过点F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为点P，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，O为坐标原点，且PO平分∠APM，则C的离心率为.

解析 取双曲线的渐近线y＝bax，可得直线F2P的方程为

y＝-ab（x-c）.

联立bx-ay=0，ax+by-ac=0，

解得P（a2c，abc）.

所以直线AP的方程为bx-（a+c）y+ab＝0.

因为PO平分∠APM，所以点O到直线PM，PA的距离相等.

所以

a2c=abb2+（a+c）2.

图4 变式3示意图

所以c2-ac-2a2＝0.

即e2-e-2＝0.

因为e＞1，解得e＝2.

点评 取双曲线的渐近线y＝bax，可得直线F2P的方程，联立解得点P坐标.根据PO平分∠APM，可得点O到直线PM，PA的距离相等，即可得出离心率.

4 结束语

双曲线的综合问题解法较多， 思考问题的视角不同，就会对应不同的解题方法，从而列出不同的方程，不同的方程对应的运算量也不一样，但最终都能顺利解决问题，达到预期目的. 因此，在解题教学过程中，教师应积极引导学生，多角度观察思考问题， 力争一题多解、一题多变、强化思维能力，提升学生的数学核心素养.如此，才能在一题多解的探究过程中，认清问题的本质，寻找到最优解法[2]. 当然，在平时的数学教学中，教师要以新课改理念为指导，逐步转变教学观念，调动学生积极参与课堂探究活动，重视解题过程中数学思想方法的总结与提炼.只要坚持不懈，必能领悟方法、提高能力，从而在一题多解的路上走得更远.

参考文献：

［1］ 王庆丰.立足课本多思考 深入发掘多惊喜：对“双曲线及其标准方程”教学设计一个局部的思考[J].中学数学教学参考，2007（21）：25-27.

[2]刘荣锋.“双曲线及其标准方程”的教学设计[J].中小学数学（高中版），2012（04）：20-22.