例谈利用特征分析回归本源的解题策略

摘 要：特征分析法是数学问题解决的一条有效途径.掌握此法，能将一些抽象问题具体化，复杂问题简单化，从而能够找到解决问题的突破口，实现问题解决的目的.

关键词：特征分析；回归本源；解题策略

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）19-0029-03

解题思路的探索是解决数学题的关键，分析题设特征、探求思路是必然的选择.《现代汉语词典》中特征释义是可以作为事物特点的征象、标志等.所谓数学问题的特征，就是指能反映问题条件与结论的内在联系的外形结构、数值、位置和差异等特点.如何通过对问题的特征分析，寻求其特征蕴含的方法，从而使问题获解的思维方法，以下通过示例对此进行探究.

1 善抓结构特征，巧中取胜

善于洞察题设、结论的外形结构特征，从结构特点出发，寻找和熟题相关或相近的题目特征进行模式识别，并加以分析、加工、转化，由此及彼地联想，把抽象结构直观化，隐蔽结构明显化，复杂问题简单化，可使问题迅速巧妙地获得解决[1].

例1 （多选）（2022年新高考Ⅱ卷）若x，y满足x2+y2-xy=1，则（" ）.

A.x+y≤1""" B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2D.x2+y2≥1

分析 题设条件结构中隐含有与选择支

A，B相似的一部分，需把它们之间的联系挖掘出来.因为ab≤（a+b2）2≤a2+b22 （a，b∈R）

，所以由x2+y2-xy=1，得 （x+y）2-1=3xy≤3（x+y2）2，解得-2≤x+y≤2，当且仅当x=y=-1时，x+y=-2；当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A错误，B正确.

再看题设等式明显地含有选择支C，D中的

x2+y2，需把等量关系转化为不等量关系，即需把它转化为关于x2+y2的不等式即可.由x2+y2-xy=1，得 （x2+y2）-1=xy≤x2+y22，解得x2+y2≤2，当且仅当x=y=±1时取等号，所以C正确.

最后，我们可将x2+y2-xy=1变形为（x-y2）2+34y2=1，隐蔽的结构外形结构类似于sin2θ+cos2θ=1的结构形式，因而设x-y2=cosθ，32y=sinθ，所以x=cosθ+33sinθ，y=233sinθ.因此 x2+y2=23sin（2θ-π6）+43，解得x2+y2∈［23，2］，所以当x=33，y=-33时满足等式，但是x2+

y2≥1不成立，所以D错误.故选BC.

评注 本题对于选择支A，B可由题设条件，利用基本不等式转化为关于x+y的不等式；对于选择支C，D把题设条件转化为（x-y2）2+34y2=1，联想类比，引入参数θ，利用辅助角公式把x2+y2转化为关于θ的三角函数可解，均回归本源，找到解题的切入点.

2 善抓特殊值，联想转化获解

在许多数学问题中，常常出现具有某种特征的数值.若能从题设中的特值入手，牢牢抓住特值存在的特殊含义，并加以分析、联想和转化，往往可迅速找到解决问题的切入点.

例2 已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求证 （a+1a）+（b+1b）+（c+1c）≥10.

分析 观察题设和所要求证的结论中都有数值“1”，我们可以将结论中的“1”用a+b+c来替换，结果会是怎样？

（a+1a）+（b+1b）+（c+1c）

=（a+a+b+ca）+（b+a+b+cb）+（c+a+b+cc）

=4+（ba+ab）+（ca+ac）+（cb+bc）

≥4+2+2+2

=10，

当且仅当a=b=c=13时取等号.

评注 直接按外部结构特征，使用基本不等式会得到（a+1a）+（b+1b）+（c+1c）≥3，当且仅当a=b=c=1时取等号，这与已知条件不符，所以将所要求证的不等式左端用“1”代换是关键，最终回归到本源，利用基本不等式求证.

3 善抓位置特征，构造获解

与图形相关的一些数学问题，如函数图象、立体几何、圆锥曲线等问题，若能仔细分析某些关键点和线的位置特征，不仅有助于学生厘清解题思路，而且对培养学生探求问题的解决途径和提高学生解决问题的能力大有裨益[2].

例3 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为（" ）.

A.86π" B.46π" C.26π" D.6π

分析 这是2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科的第12题，主要考查面面垂直模型的外接球问题.如图1，一方面根据“PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形”的显性特征可判断三棱锥P-ABC为正三棱锥，顶点P在底面上的射影O′是正△ABC的中心，球心O必然在PO′上，连接O′A，O′B，O′C，则球内接小圆的半径为O′A=O′B=O′C=23×32×2=233.

至此，如若缺少条件，就不能求出球半径.

但又有“E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°”显性特征，我们可取AC的中点M，连接PM，BM，易证明AC⊥平面PBM.

从而AC⊥PB.

又PB∥EF，EF⊥CE，可得PB⊥CE.

又AC∩CE=C，所以PB⊥平面PAC.

从而PB⊥PA，PB⊥PC.

从而正三棱锥P-ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=2，至此我们可将该三棱锥还原成一个以PA，PB，PC为棱的正方体，正方体的体对角线即为球O的直径.

即2R=6，解得R=62，

所以球O的体积为V=43πR3=6π.

评注 本题根据已知条件推得正三棱锥P-ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直的位置特征，进而构造正方体，其体对角线就是球直径，回归到球内接正方体的性质上来.

4 寻找差异，抓联系中促转化

分析数学问题条件和结论的差异，解题就是要消除条件与结论之间的差异，寻求联系，促成转化，达到新的平衡.

例4" 已知sinθ+cosθ=2sinα，sinθcosθ=sin2β，求证：4cos22α=cos22β.

分析 这是新人教A版数学必修第一册P253复习参考题5的第19题，条件中含θ，α，β三个单角，而求证的结论不含角θ，只含α，β的二倍角，主要是角的差异，根据这一差异特征，在推演中消去参数θ，同时要消除函数名的差异.

证明 因为sin2α+cos2α=1，

所以（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ.

把已知条件代入，得

4sin2α=1+2sin2β.

又由降幂公式，得

4×1-cos2α2=1+2×1-cos2β2.

整理，得2cos2α=cos2β.

即4cos22α=cos22β.

评注 本题针对题设与结论的差异，有针对性地把sinθ+cosθ=2sinα两边平方，寻找联系，把已知代入，促成转化.有关三角函数求值、化简和证明要观察角、函数名和结构特征的差异，注意利用整体思想解决相关问题.

5 结束语

总之，解题思路的探索始终是教学的重点，学会“问题解决”是教学的难点和关键所在.从题设条件特征分析切入，观察题中条件的结构特征与数量特征来寻求解题突破口，思维就能进入解题的快车道，无论是简单的数学题还是复杂的代数题，都可以从题设条件的结构与数量中进行分析，探寻出解题思路的来源，回归到本源.因此，要想提高自身的数学思维能力，学好数学，提高学习效率，就要抓住题设条件中的核心内容，对问题进行多角度探究，从结构与数量特征关系入手，建立正确的解题思路.不仅能使学生突破这些难点，而且能建构完整的解题框架，提升学生分析问题和解决问题的能力［3］.

参考文献：

［1］ 刘义凤.解答高中数学题的三种策略[J].语数外学习，2018（10）：41.

[2] 赖祝华.高中数学解题策略实践方法[J].数理化解题研究，2019（13）：38-39.

[3] 卢敏.高中数学解题策略的思考[J].中学数学，2016（15）：84-86.

［责任编辑：李 璟］