例析高考题中电磁感应导体棒和导轨模型

摘 要：电磁感应单棒模型和双棒模型是高考的热点，这类试题往往情境复杂、变化多样、综合性强，对学生关键能力和核心素养的要求较高.以2023年的几道高考题为例，对试题的情境特点、设问角度、考查方式等进行分析点评，并总结处理该类问题的一般思路和方法，指出在教学中要强化模型建构意识，提升模型拓展和迁移的能力，注重培养学生的科学思维.

关键词：高考试题；电磁感应；单棒模型；双棒模型

中图分类号：G632"" 文献标识码：A" "文章编号：1008-0333（2024）19-0105-03

电磁感应中的“导体棒和导轨”模型几乎涵盖了高中物理所有的核心知识内容，包括力与运动、能量与动量、电路与电磁感应等，综合性极强.教学中通常将其分为两种，“单棒模型”相对简单，而“双棒模型”相当于双电源的相互影响、相互制约的动态过程，难度相对较大[1].本文以2023年的几道高考题为例，分别探讨两种模型及综合问题，从情境特点、设问角度、考查方式等方面进行评析，并总结一般的解题思路和方法，以期为教学提供参考.

1 单棒模型

例1 （2023年全国甲卷理综第25题）如图1，水平桌面上固定一光滑U形金属导轨，其平行部分的间距为l，导轨的最右端与桌面右边缘对齐.导轨的电阻忽略不计.导轨所在区域有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一质量为m、电阻为R、长度也为l的金属棒P静止在导轨上.导轨上质量为3m的绝缘棒Q位于P的左侧，以大小为v0的速度向P运动并与P发生弹性碰撞，碰撞时间很短.碰撞一次后，P和Q先后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点.P在导轨上运动时，两端与导轨接触良好，P与Q始终平行.不计空气阻力.求：

（1）金属棒P滑出导轨时的速度大小；

（2）金属棒P在导轨上运动过程中产生的热量；

（3）与P碰撞后，绝缘棒Q在导轨上运动的时间.

解析 （1）Q与P发生弹性碰撞，则有3mv0＝3mvQ＋mvP，12·3mv20＝12·3mv2Q＋12mv2P，解得vQ＝12v0，vP＝32v0.碰撞后金属棒P做减速运动，离开导轨后做平抛运动；绝缘棒Q做匀速运动，离开导轨后做平抛运动.由于P和Q做平抛运动先后落在地面上同一地点，所以金属棒P离开导轨时的速度与绝缘棒Q离开导轨时的速度大小相同，即v′P＝vQ＝12v0.

（2）由能量守恒定律，金属棒P在导轨上的速度从vP减到v′P过程中产生的热量Q＝12mv2P-12mv′2P＝mv20.

（3）碰撞后金属棒P在导轨上减速运动，由E＝Blv，i＝ER，F安＝Bil，可得F安＝B2l2vR，冲量大小为I安＝∑B2l2vRΔt＝B2l2Rx.由动量定理B2l2Rx＝mv′P-mvP，可得x＝mv0RB2l2.而绝缘棒Q在导轨上做匀速运动，运动的时间t＝xvQ＝2mRB2l2.

点评 本题考查电磁感应中的导体棒模型，粗看情境，容易思维定式误以为是双棒模型，那么试题就会变得无解.其实不然，注意Q棒为绝缘棒，意味着自身不产生任何电学效应，在碰撞前后均做匀速运动，设置这根棒的目的是

综合碰撞模型，考查动量和能量综合应用.而P棒为金属棒，碰撞后在磁场中运动，属于单棒模型.本题呈现方式的亮点就在于“形似双棒实为单棒”，有利于规避“机械刷题”现象，避免导向典型题套路和技巧的运用[2].

2 双棒模型

例2 （2023年山东卷第12题）（多选）足够长的U形导轨平置在光滑水平绝缘桌面上，宽为1 m，电阻不计.质量为1 kg、长为1 m、电阻为1 Ω的导体棒MN放置在导轨上，与导轨形成矩形回路并始终接触良好，Ⅰ和Ⅱ区域内分别存在竖直方向的匀强磁场，磁感应强度分别为B1和B2，其中B1＝2 T，方向向下.用不可伸长的轻绳跨过固定轻滑轮将导轨CD段中点与质量为0.1 kg的重物相连，绳与CD垂直且平行于桌面.如图2所示，某时刻MN、CD同时分别进入磁场区域Ⅰ和Ⅱ并做匀速直线运动，MN、CD与磁场边界平行.MN的速度v1＝2 m/s，CD的速度为v2且v2＞v1，MN和导轨间的动摩擦因数为0.2.重力加速度大小取10 m/s2，下列说法正确的是（" ）.

A.B2的方向向上" B.B2的方向向下

C.v2＝5 m/sD.v2＝3 m/s

答案 BD

解析 导体棒和导轨的受力分析和等效电路分别如图3和4所示（俯视图）.由于v2＞v1，即导体棒相对导轨向左运动，导体棒受到的摩擦力向右，导轨受到的摩擦力向左，大小为Ff＝μmg＝2 N.由于导体棒做匀速运动，所以安培力向左，大小为F1＝Ff＝2 N，电流方向为顺时针方向，由安培力F1＝B1IL，得I＝1 A.由于导轨做匀速运动，且Ff＞FT＝1 N，即摩擦力大于轻绳的拉力，所以导轨的安培力向右，大小为F2＝Ff-FT＝1 N，由左手定则可知B2的方向向下，故B选项正确.由导轨的安培力F2＝B2IL，可得B2＝1 T.由右手定则可知导体棒和导轨的电动势反接，所以I＝E1-E2R＝B1Lv1-B2Lv2R，解得v2＝3 m/s，故D选项正确.

点评 本题是整套试卷最后一道选择题，考查电磁感应中的导体棒和导轨模型，情境设计复杂新颖，属于力电综合问题.在加入摩擦力和轻绳拉力之后，导体棒和导轨均做匀速运动，使得运动、受力和电学状态相互关联、彼此制约，解题时需要找到突破口进行逻辑推理，逐步理清受力分析和等效电路，否则容易陷入思维定式，误以为导轨向右运动而受到的安培力向左.本题有利于引导学生突破思维定式，杜绝死记硬背结论，倡导具体问题具体分析.

3 综合问题

例3 （2023年湖南卷第14题）如图5，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为L，两导轨及其所构成的平面均与水平面成θ角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B.现将质量均为m的金属棒a、b垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为R.运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为g.

（1）先保持棒b静止，将棒a由静止释放，求棒a匀速运动时的速度大小v0；

（2）在（1）问中，当棒a匀速运动时，再将棒b由静止释放，求释放瞬间棒b的加速度大小a0；

（3）在（2）问中，从棒b释放瞬间开始计时，经过时间t0，两棒恰好达到相同的速度v，求速度v的大小，以及时间t0内棒a相对于棒b运动的距离Δx.

解析 （1）当只有棒a切割磁感线时，由E＝BLv，i＝E2R，F安＝BiL，可得F安＝B2L2v2R.对棒a匀速运动时，由平衡方程B2L2v02R＝mgsinθ，可得v0＝2mgRsinθB2L2.

（2）对棒b释放瞬间，由牛顿第二定律mgsinθ＋B2L2v02R＝ma0，可得a0＝2gsinθ.

（3）当棒a和棒b都在切割磁感线时，由E＝BLva-BLvb＝BLΔv，i＝E2R，F安＝BiL，可得F安＝B2L2Δv2R，在时间t0内安培力的冲量大小为I安＝∑B2L2Δv2RΔt＝B2L2Δx2R.由动量定理，对棒a有mgsinθ·t0-B2L2Δx2R＝mv-mv0，对棒b有mgsinθ·t0＋B2L2Δx2R＝mv，联立两式解得v＝gt0sinθ＋mgRsinθB2L2，Δx＝2m2gR2sinθB4L4.

点评 本题的情境设计常规，考查倾斜导轨上电磁感应中的导体棒模型，既有单棒模型又有双棒模型.问题设计层次分明，先单棒后双棒，先平衡后加速，先瞬间后全程，三个小问由易到难，区分度较高.值得指出的是，理论上两棒的速度随时间呈指数规律变化，速度只能不断接近，不可能相等，即不存在速度相等的时刻，也就不存在相等的速度.为了满足高考题的要求，可以改为“经过时间t0，两棒趋于相同的速度v”，以体现真实的物理过程.

4 结束语

模型思维是一种重要的科学思维，建模方法是科学研究中的常用方法，创设基于模型建构的教学环境，有利于培养模型拓展、迁移和应用的能力[3].因此在教学中，一方面要注重问题解决的通性通法，培养学生具体问题具体分析的能力，避免细枝末节知识的过度辨析、典型题套路和技巧的运用，减少重复低效的“机械刷题”现象；另一方面要强化模型建构意识和能力，模型重于题型，思路重于套路，注重培养学生的关键能力、核心素养和思维品质.

参考文献：

［1］ 段石峰.电磁感应含容电路中是否计电阻的讨论[J].中学物理教学参考，2022，51（31）：40-43.

[2] 教育部教育考试院.落实立德树人根本任务 服务拔尖创新人才培养：2023年高考理科综合全国卷试题评析[J].中国考试，2023（07）：27-31.

[3] 廖伯琴.普通高中物理课程标准（2017年版2020年修订）解读[M].北京：高等教育出版社，2020：50-51.

［责任编辑：李 璟］