选用合适的方法，高效解答数列求和问题

数列求和问题经常出现在数列试题中.这类问题常以解答题的形式出现.解答数列求和问题，需熟练运用等差数列和等比数列的前n项和公式.下面主要谈一谈求解复杂数列求和问题的方法.

一、错位相减法

如果一个数列的通项公式是等比数列和等差数列的乘积，那么就可以使用错位相减法来求和.先将数列的通项公式拆分为等比数列和等差数列，并确定等比数列的公比；然后列出数列前n项和的表达式；接着在该式的两边同时乘以等比数列的公比；再将两式错开一位相减，就可以使差式中的大部分项构成一个新等比数列；最后利用等比数列的前n项和公式进行求和即可.

例1.已知数列{an}是等差数列，a1=2，a1+a2+a3=12，数列{bn}满足bn=an xn（x∈R*），求数列{bn}的前n项和.

解：

对于公比为参数的数列，要运用等比数列的前n项和公式求和，需分q=1和q≠1两种情况进行讨论.本题中对于x≠1的情形，可以将bn=2n∙xn视为等差数列{2n}和等比数列{xn}的乘积，运用错位相减法进行求和.

二、裂项相消法

对于某些复杂数列，我们可以通过约分、通分、拆项、分母有理化等方式，将数列的通项公式裂为两项之差的形式，这样和式中互为相反数的项就会相互抵消，我们就可以通过简单的计算顺利求得数列的和.

例2.

解：

数列{ } 1 Sn 的通项公式为 1 Sn = 1 2n（n + 1） ，将其拆分为两项之差 1 Sn = 1 2 （ 1 n - 1 n + 1 ） ，即可运用裂项相消法快速求得数列的和.

三、分组求和法

有些复杂数列通过拆分、重组可以化为几个简单数列，如等比数列、等差数列、常数列的和差，就可以采用分组求和法进行求和.将每个简单数列分成一组，分别根据等差数列和等比数列的前n项和公式进行求和即可.

例3.已知数列{an}的通项公式为an=2n-1，数列{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和Tn.

解：

先将数列 {cn} 拆分为两组 30 ，3 1 ，∙∙∙，3n - 1 、2 × 1， 2 × 2，∙∙∙，2n ；然后根据等差数列和等比数列的前n项和公式分组进行求和，即可解题.

上述三种方法都是解答数列求和问题常用的方法.无论运用哪种方法求和，都要先仔细研究数列的通项公式，将其进行合理的拆分、裂项、变形，以将问题转化为简单的数列求和问题或计算问题，从而达到化难为易的目的.

（作者单位：江苏省兴化中学）