聚焦关系本质，促进能力提升

教学内容：人教版数学六年级下册总复习。

该课例所在知识团分析：

“常见数量关系解决问题总复习”属于“数与代数”领域的“数量关系”主题“乘法模型解决问题”知识团。为更好地设计课题，教师针对该课题所在知识团做了如下分析研究。

一、“乘法模型解决问题”研究背景分析

（一）课标对乘法模型解决问题的相关要求

“乘法模型解决问题”知识团属于“数与代数”领域的“数量关系”主题。课标指出：经历在具体情境中运用数量关系解决问题的过程，感悟乘法模型的意义，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，形成模型意识和初步的应用意识。每个阶段又有各自的侧重点，有了乘法模型，解决问题也就有了抓手。

（二）教学中对用乘法模型解决问题的困惑与思考

访谈调查研究发现，学生经过小学六年的学习，对乘法数量关系认识比较丰富，但是对相关数量关系之间的内在联系认识不够清晰。如何在解决问题教学中理解数量关系，构建乘法模型？如何利用乘法模型提高学生解决问题的能力？如何把握相关数量关系的内在联系，体现关系的一致性？这些成为我思考的问题。

二、“乘法模型解决问题”内容分析

二年级上册乘法意义的学习是进行数的运算的依据，也是学生分析数量关系、解决问题的基础。这一阶段主要是运用乘除的意义解决问题，“几个相同加数的和”是学生构建乘法意义的生长点。学生在学习探究过程中体会乘法是加法的简便运算，逐步理解乘法的含义，实现加法模型向乘法模型的转变。而二年级下册学习的解决问题是平均分和包含除，用到乘法模型的变式总数÷份数=每份数或总数÷每份数=份数。这一学习过程通过对除法意义的理解分析数量关系，最终实现用乘法模型解决问题。而三年级上册和三年级下册都是乘法模型解决问题的复合运用。其中，归一问题是用除乘法解决问题，而大问题情境是每份数×份数=总数，每份数不变。归总问题是用乘除法解决问题，大问题情境是总数÷份数=每份数或总数÷每份数=份数，总数不变。这些都在引导学生体会变中不变的思想，为用比例法解决问题埋下伏笔。

四年级上册“常见数量关系”的学习丰富了学生对乘法模型的认识，正式学习总价=单价×数量，路程=速度×时间这两个乘法模型。它们的变式可以写成：单价=总价÷数量，数量=总价÷单价，速度=路程÷时间，时间=路程÷速度。这个板块的学习有着承上启下的作用，上联二年级乘法意义的学习，下接五、六年级小数、分数以及用比例解决问题的学习，引导学生在解决复杂问题中实现对乘法模型的拓展。这些知识间存在一致性，都是对每份数×份数=总数这一乘法模型实际运用的具体化。学生需要在这一阶段的学习中获得对数量关系的认识和理解，正式建立模型。

经过用字母表示关系的学习，实现数量关系的一般化表达，进一步丰富学生的认识，这条线的分析主要是等量组聚焦模型的建立过程，引导学生通过进阶学习深刻体会模型是用来解决一类具有不同情境相同数学问题的方法。

另一条线是倍数模型的建立过程，从三年级上册开始倍的认识学习后，就安排了相应的解决问题。倍数关系的建立拓宽了乘法模型解决实际问题的应用范围，从而帮助学生进一步理解乘除法的意义，增强学生的数学应用意识。而倍数关系的乘法模型包括变式，在这一阶段都开始渗透学习，主要包含三类，即求倍数、求一倍量和求几倍量的实际问题，这和求总数、求每份数、求份数是一致的。

分数乘除法和百分数解决问题的学习，主要以倍数模型为主、等量组的聚焦模型为辅。模型反映了结构化的思想，到了这个阶段需要把握一类问题的本质与规律，从而实现对模型应用的融会贯通。乘法模型就是在表达数量之间的相等关系。因此，“乘法模型”和“相等”是这一知识团的核心概念。

基于以上分析，可见在该知识团的教学中，我们只有把握好核心概念，才能建构每份数×份数=总数的乘法模型，那具体在教学中怎样做呢？

三、教学建议

（一）注重梳理，让数量关系清晰化

在教学中，教师要引导学生观察数量关系，将其从具体情境中抽象出来。第一学段主要利用乘除法的意义，借助画图和实物操作等帮助学生理解数量关系，解决问题。第二学段在学生利用乘除法意义的基础上，引导学生理解并掌握常见的数量关系模型，同时通过画线段图理解数量关系，建立模型。第三学段从画线段图逐步过渡到离开直观图，从关键句式进行分析，逐步学会思考，拓展模型的应用，从而提高解决问题的能力，进而实现会用数学的眼光观察数量关系。

（二）注重联系，让数量关系集中化

乘法模型应用广泛，“每份数×份数=总数”这个数量关系就能统领一串相关知识，我们要善于分析知识之间、数量和数量之间、数学与生活之间的内在联系，让教学呈现点点相连、线线相通的脉络，引导学生用数学的思维分析数量之间的关系。

（三）注重根植，让数学关系深入化

教师在解决问题教学中要持续指向数量关系，才能让学生在感受模型、抽象模型、应用模型的过程中关注并把握数量关系，逐步建立“每份数×份数=总数”的乘法模型。这样学生才能更好地完善认知结构，形成结构化的整体思维，最终实现会用数学的语言表达数量之间的关系。本节课借助线段图、树状图、解题策略的回顾，使学生明分析之理，懂分析之策，通解题之法。

四、教学设计

▲教学目标

1.借助线段图梳理常见的数量关系，沟通数量关系之间的内在联系，建立“每份数×份数=总数”的乘法模型；在运用乘法模型解决实际问题的过程中，渗透解决问题的策略，掌握利用树状图分析数量关系解决问题的方法。

2.经历整理复习的过程，感悟一类问题的本质和规律，进一步理解数量关系的本质和内在联系，能够根据问题选择合适的数量关系进行分析与思考，提高解决问题的能力。

3.在探究过程中，体会乘法模型的力量，激发学习数学的兴趣，培养模型意识和应用意识。

其中，教学重点是借助线段图梳理常见的数量关系，沟通数量关系之间的内在联系，建立“每份数×份数=总数”的乘法模型；在灵活运用模型解决实际问题的过程中，掌握利用树状图分析数量关系解决问题的方法。教学难点是能够根据问题灵活选择合适的数量关系分析与思考，提高解决问题的能力。

▲学情分析

六年级学生经历了六年的小学学习后，对数量关系的认识比较丰富，但是缺少对相关数量关系之间内在联系的思考。

▲教学设想

人教版小学数学教材六年级下册第六单元“整理和复习”中对“解决问题”内容的总复习只有例9和例10两个例题。例9是复习解决问题的一般思路和步骤，例10是用分数乘除法解决问题。但是在第77页“做一做”和第79页第8题中出现用常见数量关系解决问题的题目。而解决问题总复习教学不能只停留在对各种类型解决问题的罗列再现，应打通一类问题的联系，掌握解决问题的方法。因此，为提高学生解决问题的能力，沟通小学阶段常见数量关系的本质，我确定以“常见数量关系解决问题总复习”为主线进行教学设计。

本节课重在梳理小学阶段常见数量关系，渗透解题策略，引导学生感悟一类问题的本质，掌握方法，体会化繁为简的思想，培养模型意识和应用意识。在课堂教学中，教师要立足数量关系的本质理解，注重各类问题数量关系之间的内在联系与沟通；立足数量关系结构的变换，把小学阶段散乱的常见数量关系解决问题进行结构化关联，抽象出“每份数×份数=总数”这一本质模型，帮助学生构建聚焦本质的解决问题认知体系。

▲教学过程

（一）明关系之理，建立模型

1.数形结合，理解意义

课件出示线段图：

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教师：谁能看懂这个线段图表示什么意思？用算式怎样表示？为什么用乘法计算？想一想生活中有哪些问题可以用这个线段图来解决？

学生思考后回答。

小结：一下子抓住了问题的本质。这些问题虽然情境不同，但都是求4个5是多少。

2.变换数据，梳理问题

课件出示：

一辆汽车每小时行70千米，4小时行多少千米？

织布机每小时织布20.7米，5小时织多少米？

每千克苹果■元，买3千克苹果共花多少钱？

每千克苹果■元，买a千克苹果共花多少钱？

师：这些题还能用这个线段图来解决吗？说明理由。看到这些题目，你想起了哪个数量关系？算式是什么？为什么用乘法解决？

学生思考后回答。

小组讨论：观察这些问题的线段图、算式、数量关系，你能发现什么？

学生汇报交流：都用乘法计算，都是求几个几是多少；线段图都是知道一段和几段，求一共是多少。

根据学生回答适时板书，揭示：每份数、份数和总数。

小结：不管是在不同情境中有不同的数量关系，还是在同一个情境中，把这些数量换成不同的数据，都有这样一个相同的关系把它们连在一起。当用每份数×份数求总数时归根结底和乘法的意义有关系，就是求几个几相加的和是多少。这些求几个几相加的问题不仅线段图一样，数量关系也一样。

（二）懂分析之策，应用模型

1.分享交流，提炼方法

课件出示探究活动要求：

一辆汽车1.5小时行105千米，4小时行多少千米？

1.读一读：题目中的已知条件和要解决的问题。

2.想一想：用哪个数量关系式解决问题，列式解答。

3.说一说：和同桌交流你的想法。

学生思考后分享交流。

师：从4小时共行多少千米开始想起，这叫从问题想起。

师生一起回顾刚才的解题过程，并提炼从问题想起分析数量关系的解题策略。

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师：除了从问题想起，还可以从条件想起，谁能试着分析？

学生尝试分析。

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2.观察对比，发现联系

课件出示：

一辆汽车每小时行70千米，4小时行多少千米？

一辆汽车1.5小时行105千米，4小时行多少千米？

师：这两道题有什么相同和不同的地方？

学生观察后全班交流。

师：在解决这个问题的时候，我们知道了“总数”就能求出——

生：每份数。

师：无论从哪里开始想，解决这类问题时，就是在研究谁与谁的关系？

生：“每份数”和“总数”之间的关系。

3.多样方法，沟通联系

师：这一题还能利用我们学过的什么知识来解答？你是怎么想到的？

学生思考后分享想法。

教师根据学生回答出示课件：

一辆汽车1.5小时行105千米，4小时行多少千米？

解：设4小时行x千米。

105∶1.5=x∶4

总数∶份数=总数∶份数

小结：原来六年级我们学习的正比例知识也是研究这个数量关系的，只不过呈现的形式不一样。

4.回顾总结，梳理方法

教师引导学生回顾前面的解题过程，梳理解决问题的一般方法。

（三）通解题之法，拓展模型

1.变化条件，灵活运用

课件出示：

一批零件，李师傅每分钟做80个，5分钟可以完成。王师傅8分钟完成，他每分钟做了多少个零件？

（1）阅读与理解：说一说题目中的已知条件和要解决的问题。

（2）分析与解答：利用树状图分析数量关系，并列式解答。

（3）回顾与反思：从条件想起或从问题想起，重新思考解题过程，验证计算结果。

学生根据探究要求完成问题，完成后汇报交流。

小结：原来利用反比例解决问题也和这个数量关系有关系。一切复杂源于简，找到了问题解决的源头就会找到更好的解题方法。

2.综合运用，提升能力

课件出示探究要求：

六年级办公室买进一包A4纸，计划每天用25张，可以用20天。

（1） ，实际可以用多少天？

要求：在横线上加一个条件，变成两步计算的问题。

（2） ，实际可以用多少天？

要求：在横线上加一个条件，变成三步计算的问题。

（3）如果每张纸大约重5.3克，这包纸一共重多少千克？

先小组交流，再自主完成问题。

学生汇报交流想法。

师：从补充的信息中，你发现了什么？从两步变为三步，你有什么好方法？解决问题的步数不一样，什么没变？

小结：纸的原料之一就是树木。习近平总书记说：“绿水青山就是金山银山。”我们一定要养成节约用纸的习惯，造福未来。

（四）回顾总结，融会贯通

1.横纵观察，聚焦本质

师：学习到这里，你找到用常见数量关系解决问题的方法了吗？

生：每份数×份数=总数。

师：对了。就是这个乘法数量关系。这节课我们从二年级的知识拉开序幕，从此你走过三年级、四年级、五年级，再回到六年级，你有了什么收获？（课件展示课本相关内容图片）

2.反思提升，发展能力

小结：数学知识之间联系紧密，用联系的眼光学数学，会让我们的数学学习越来越简单。希望大家在今后的复习中，能够不断前后联系、不断深入思考，悟出新的道理！

（作者单位：济南市催马小学）

编辑：常超波

作者简介：史家娟，现任济南市催马小学教学管理部副部长，一级教师，执教课例获市中区优质课一等奖、山东省优课等，被评为市中区教学能手，市中区“经纬三名工程”人选。