“数据的分析”中常用的数学思想

数学思想是数学的精髓，是解决数学问题的金钥匙. 在解决“数据的分析”相关问题时，常要运用数学思想来导航，进而顺利找到解题路径.

一、方程思想

例1 已知一组数据1，0， -3，5，x，2， -3的平均数是1，则这组数据的众数是（ ）.

A. -3 B. 5

C. -3和5 D. 1和3

解析：由1，0， -3，5，x，2， -3的平均数是1，可得方程1 + 0 - 3 + 5 + x + 2 - 3 = 7 × 1，解得x = 5，而1，0， -3，5，5，2， -3的众数为 -3和5. 故选C.

注意：一组数据的众数可能不止一个（这里有两个），也可能不存在（如1，2，3，4）.

二、整体思想

例2 若一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差为2，则数据x1 + 3，x2 + 3，x3 + 3，…，xn + 3的方差是 .

解析：设[x] = [1n] （x1 + x2 + x3 + … + xn），则s2 = [1n] [（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2] = 2.

再列出数据x1 + 3，x2 + 3，x3 + 3，…，xn + 3的平均数与方差的表达式，然后将前面的表达式整体代入，可知数据x1 + 3，x2 + 3，x3 + 3，…，xn + 3的平均数为（[x] + 3），方差为[1n] [（x1+3-x-3）2+（x2+3-x-3）2+…+（xn+3-x-3）2] = [1n·] [（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2] = 2.

规律：两组数据的平均数分别为[x]1，[x]2，方差分别为s12，s22，当第二组每个数据是第一组每个数据的n倍再增加m时，则有[x]2 = n[x]1 + m，s22 = n2s12.

三、数形结合思想

例3 长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大. 6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图1所示的折线统计图，则下列说法正确的是（ ）.

A. 甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数

B. 甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数

C. 甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差

D. 甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差

解析：常规解法是根据平均数、中位数、极差及方差的定义计算，得到甲、乙两班视力值的平均数均为4.7，中位数均为4.7，极差（数据中最大值与最小值的差）均为0.6，s[2甲] = 0.025，s[2乙] = 0.035，s[2甲] lt;" s[2乙]，进而判断选项A、B、C均不正确，选项D正确，故选D.

这样做不仅费时费力，且易出错. 观察图１可发现，实线的波动程度比虚线的波动程度小，因此甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差，故选D.

四、分类思想

例4 一组数据1，4，6，[x]的中位数和平均数相等，求[x]的值.

解析：平均数为[11+x4]，中位数是从小到大排序后中间两数的平均数. 因x的大小不确定，所以要分类讨论.

（1）当x ≤ 1时，其中位数为[1+42]，则 [1+42=11+x4]，解得x = - 1；

（2）当1 lt; x lt; 6时，其中位数为[x+42]，则[x+42=11+x4]，解得x = 3；

（3）当x ≥ 6时，其中位数为[4+62]，则[4+62=11+x4]，解得x = 9.

因此，x的值为 - 1或3或9.

反思：x不确定，中位数的大小也就不确定，所以要分类求解.

分层作业

难度系数：★★★ 完成时间：5分钟

1. 一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，求这组数据的平均数. （答案见33页）

2. 图2是甲、乙两人6次投篮测试（每次投篮10个）成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作s[2甲]，s[2乙]，则s[2甲] " " " s[2乙]. （填“gt;”“=”或“lt;”）（答案见33页）

（作者单位：江苏省兴化市戴泽初级中学）