CPPFS结构及其在高中数学单元主题教学中的教学设计

摘要：单元教学超越了传统课时教学在零散知识灌输方面的局限，被视为培养学生核心素养的必经之路.CPFS结构是经过论证的，适合我国教学特色的数学认知结构，该结构也适合单元教学.问题是数学的心脏，本研究把问题融合至CPFS结构，构造CPPFS结构，并设计建立以个体CPPFS结构为主题的单元教学，为一线教师提供教学参考.

关键词：CPPFS结构；单元教学设计；高中数学

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“新课标”）提出：“以大概念为核心，使课程内容结构化，以主题为引领，使课程内容情境化，促进学科核心素养的落实.”由此可见，强调知识点间的交叉联系对于促进学生基本素养落地的意义.喻平[1]在数学知识分类、数学知识表征的基础上，提出了CPFS结构，CPFS是学生头脑中内化的数学知识网络，即概念域、概念系、命题域、命题系的统称.优良的CPFS结构能促进学习者对知识的理解，丰富学生的内部知识网络和促进图式的重组和调整.在单元教学促核心素养发展的潮流下，2020年喻平提出了以建立个体CPFS结构为主题的单元教学设计，该教学模式的提出给一线教师进行单元教学设计提供了新的视角和理论基础.

高中数学教材的构成分为章节引言、章节知识以及例题和习题[2].在整体化教学过程中，除了要注重知识教学的整体性，还应注重解题教学的整体性[3].将问题化繁为简、化难为易，使学生从整体上把握数学问题的关键，提升学习能力和数学素质.问题是数学的心脏，从喻平发表的多篇有关CPFS结构的论文中可以看出，虽建立了概念和命题的结构，但也有意将概念、命题和问题三者融合，突出问题的重要性.

基于此，本研究将喻平提出的CPFS理论进行推广，增加问题域和问题系，建立CPPFS结构，并将之应用到高中数学单元教学中.

1 构建CPPFS结构

在构建CPFS结构中，喻平提出教师可以采用“变式”教学方法使学生辨别数学知识的不同表达形式或者错误表达形式.这里的“变式”就是在扩展域和联系系.实际上，扩展和联系的不仅是“概念”和“命题”，还有“问题”.除了“变式”以外，喻平还指出“迁移”也会扩展域和系，沟通“概念”“命题”和“问题”，进而提升素养.由此可见，与概念和命题类似，问题也有域和系.基于此，本研究在CPFS结构基础上，增加了问题域（probelm field）和问题系（problem system），即构建“CPPFS结构”，其是由概念、命题、问题、域和系五个名词的英文单词的首字母组成的缩写.

与CPFS结构一脉相承，本研究将问题域和问题系定义如下：问题域即等价问题的集合，是指两个或多个问题虽然表述或形式不同，但其解决的方法、策略或表达的数学思想方面有相似之处.通过对具体问题的条件或结论的等价转化以及代数问题和几何问题的转化等来促进思维的灵活转换.问题系是指在个体头脑中形成的具有特定数学问题关系的问题网络.各个问题之间存在着联系和依赖，形成了一个相互关联的问题体系.

CPPFS结构是学生自己的数学学习认知结构，结构良好的学生可以把知识与问题域、问题系紧密联系，从更大视角形成对知识单元整体的认识，从而更好地指导自己的学习，认清题目、反思总结，更好地监控自己的学习.

2 建立个体CPPFS结构的单元教学

建立个体CPPFS结构的单元设计可以以一个概念为核心，研究并得出与这个概念等价或有抽象联系的概念，又或者以一个命题为核心，研究并得出与这个命题有等价或推出联系的命题.此外，以建立个体CPPFS结构为主题的单元教学也可从大问题的角度出发，以大问题为中心，引导学生探究解决问题需要从哪些方面研究，需要学习哪些方面的知识，怎样分解这个复杂的问题，得到与这个问题有推出关系的问题，并将这一组问题用于解决大问题.以建立个体CPPFS结构为主题的单元教学流程见图1.[FL）]

在核心素养教学下，教师需按照“定单元主题—明基本概念—理概念关系—确定大概念”的流程，提炼主题单元大概念.依据教材内容和大概念框架，在已划定的概念范围内挑选核心概念.对已挑选的核心概念进行派生，逐步下行设计，最终落实到具体课时教学中的一般概念.与之相反，学生从低层的一般概念或命题出发，自下而上地对知识进行抽象和概括，建构并正确表述核心概念，再由核心概念总结概括出大概念，最终达成核心素养的培养.从总体来看，知识点从设计教学到学生学习的过程如图2“W”模型的右半支.在进行单元问题设计时，教师从核心素养出发来设计教学目标，根据教学目标确定教学活动和大任务.从大任务出发思考设计大问题，再下行至核心问题，最终具体到每个课时的一般问题.在一般问题中，表述形式不同但解决方法和运用策略相似的问题为一个问题域.相反，学生是从一个个具体问题开始逐步解决来达成课时任务，然后经过小单元总结，最后解决大问题，达成单元目标.教学中的问题活动从设计、开展到达成如图2“W”模型的左半支.“W”教学模式将零散的知识进行统一组织，促使学生在解决数学问题的动态生成中不断获得思维和能力的提升.

3 “三角函数”教学背景

3.1 明确教学内容，建立新旧联系

本章是在学习完函数的概念与性质之后安排的三角函数单元教学.三角函数是继函数概念学习后的第四类基本初等函数的概念，应该是在大框架函数概念的学习基础上进行学习，经历概念的背景了解，探索概念的形成过程，再分析其性质、应用等，因此前面单元安排的函数的学习是三角函数单元学习最好的参照物，如图3.将三角函数纳入函数主线的大框架下进行教学，有利于学生“既见树木，又见森林”.

3.2 调研学生学情，进行深度分析

3.2.1 学习本章的基础点

初中对圆的轴对称、中心对称、旋转对称性质以及锐角三角函数的学习，学习内容得出的结果可以用三角函数概念来表达，进而得到三角函数的性质.学生初中掌握的平面几何相关数学思想方法也会为本单元的学习提供可行思路，比如两角差余弦公式的证明等.而在函数主线的学习中，学生已经了解研究函数的一般方法，在幂指对函数的学习中积累的数学思想方法都是本单元的认知基础.

3.2.2 学习本章的障碍点

在学习本章之前，教师应对以上学情调研结果进行梳理，整体把握学生的认知障碍和有待提升的数学学科核心素养，依据认知规律梳理课程素材、选择教学方法.学生认知障碍及待提升的学科素养如表1所示.

3.3 “三角函数”单元设计

3.3.1 找准“大概念”，划分单元组块

大概念往往涵盖性强，含义抽象且缺乏教学实用性.教师需充分考虑大概念与核心概念、一般概念之间的关联，再划分单元组块，选取相应的教学内容和资源进行重组和排序.“三角函数”学科大概念层级结构如图4所示.

3.3.2 创设单元情境，引发学习任务

将“刻画小明在摩天轮的位置”作为问题情境，贯穿于全部的课程单元.选取以刻画摩天轮的位置设计为教学场景的理由大致有两点：一是这个问题情境从我们所熟悉的教学情景开始，建立平面直角坐标系，由锐角三角函数的定义自然过渡到任意角三角函数；二是这个问题情境以摩天轮为模型，与本单元单位圆模型一脉相承，从而在问题情境的解决中得到三角函数的概念.

3.3.3 设置大问题，设计学习活动

大问题与单元大概念相呼应，是能反映单元核心学习内容、促进单元大概念的生成、理解与掌握的问题.学习活动应紧扣大问题设计，在学习活动中体现探究核心概念、逐渐形成单元大概念的过程.三角函数单元问题和单元活动如表2所示.

3.3.4 小结构建系统，加深域系认识

新高考下，高考考查学生是否能够将三角函数的内容同其他基本函数内容有效衔接起来.因此，教师应在每节课接近尾声时，及时引导学生将三角函数模块中所学的知识点置于高中阶段函数知识的整体框架中，丰富概念域、概念系和命题域、命题系，厘清问题之间的转化关系，构建问题域、问题系，促进学生反思、审视自己的学习.

参考文献：

[1]（喻平.数学问题解决中个体的CPFS结构对迁移的影响[J].数学教育学报，2004（4）：13-16.

[2]李坤.高中数学新旧教材结构及内容的比较分析[D].曲阜：曲阜师范大学，2021.

[3]王新芝.整体思维在解题过程中的应用[J].教育教学论坛，2011（9）：66.