从同课异构谈高中数学课堂引入的有效策略

李鸿艳

摘  要：同课异构是指两位或多位教师选用同一教学内容，根据实际的教学条件和教师自身特点进行不同的教学设计。同课异构要求教师精心研究教材，潜心钻研教法和学法，以便为集体研讨提供良好的研究平台，它是教师提高教学水平和教学能力的一条有效途径。文章针对普通高中课程标准实验教科书（人教版）数学必修四第三章第一课时“两角差的余弦公式”，结合两位教师的课堂引入实例、观测与调查数据，分析了有效引入的构成特征及意义。

关键词：同课异构;教学内容;学习兴趣

一、案例呈现

（一）教师A的引入实录

教师用PPT展示问题：“学校行知馆对面的小山上有一个凉亭。为了测量凉亭的高度，高二某学习小组在地平面A处测得AC两点间的距离为26m，从A处观测凉亭底端的仰角为60°，顶端的仰角为75°，求这座凉亭的高度。”

教师：“同学们，这是一个实际问题，求解实际问题时，一般先建立数学模型，你能根据题意画出图形吗？请小组进行讨论（学生热烈讨论，教师巡视）。”

近2分钟后，教师展示了两份学生画出的图形，给予肯定，同时指出问题，然后在投影上显示自己画出的图形，引导学生解析问题：

在RT△ABC中，

∵ sin∠CAB=sin60°=，cos∠CAB=cos60°=，

∴ AB=ACcos60°=26×=13，

BC=ACsin60°=26×=13。

在RT△ABD中，BD=ABtan75°=13tan75°，

于是CD=BD-BC=13tan75°-13。

教师：“怎么求tan75°呢？tan75°=tan（30°+45°），那么tan（30°+45°）又该怎么求呢？它等于tan30°+tan45°吗？本节课大家就来研究如何用α，β的三角函数值表示出α+β或α-β的三角函数值。首先大家一起探究如何用α，β的正弦、余弦值来表示cos（α-β）的三角函数值（引入课题：3.1.1两角差的余弦公式）。”

（二）教师B的引入实录

教师：“同学们，请看下面三个问题（投影显示）。1. 若α=30°，β=30°，则cosα=___，cosβ=___，cosα+cosβ=___，cos（α+β）=___。2. 若α=60°，β=-60°，则cosα=___，cosβ=___，cosα+cosβ=___，cos（α+β）=___。3. cos（α+β）=cosα+cosβ成立吗？”

学生分别回答上述三个问题。

教师：“4. 若α=30°，β=45°，则如何求解cos（α+β）呢？本节课大家就一起探究如何用α，β的三角函数值来求解cos（α-β）的值（引入课题：3.1.1两角差的余弦公式）。”

二、课堂情况统计

本文对两位教师的课堂表象做了一些统计：从课堂讲授的时间分配来看，在内容引入上，教师A用时12分钟左右，教师B用时1分钟左右;在公式推导上，教师A用时13分钟左右，教师B用时15分钟左右;在例题讲解、知识巩固和分组探究方面，教师A用时约8分钟，教师B用时约23分钟。很明显，教师B有效整合了教材内容，把时间重点安排到知识的重难点上，如公式推导、练习巩固以及学生的小组合作探究上。

根据不同时段统计的学生情绪反应曲线图来看，A班学生的情绪落差较大，呈现出先高后低并逐步下降的态势;而B班学生，虽前期表现平淡，但随着教学内容的推进与深入，情绪不断高涨，班级教学氛围逐步活跃，尤其是在练习巩固学生演板、师生点评和学生小组合作探究的阶段，学生学习的热情提高。很明显，教师B的教学，把教育心理学中的“注意力曲线”理论运用得恰到好处，依据学生在课堂上的情绪状态和需求制订了更加有效的教学策略，用多样化的教学方法等手段吸引了学生的注意力，使学生保持了对课程的兴趣和参与度，从而有效提高了学生学习的效果和满意度。教师上课结束后，本文对学生做了一个简单的问卷调查。当问到“你知道两角差的余弦公式的实际用途吗”，A班有79%的学生知道，不清楚的有14%;B班却有39%的学生知道，不清楚的有17%，这也与B班教师在这一节课中重视知识解决习题而没有解决实际问题有关。当问到“你对教师的引入方式满意吗”，A班有63%的学生回答满意，B班有84%的学生回答满意。

三、高中数学课堂有效引入的思考

（一）有效引入必须能引发学生学习欲望

从学生课堂反映曲线图可以看出：在课堂引入的初始阶段，因为教师A提出的问题源于学生熟知的景物，需要求解的问题是学生熟知的对象，这容易拉近问题与学生的距离，所以能迅速调动学生学习的积极性。而教师B设置的问题1和2中，使用的是相对枯燥的数据计算，学生心目中多多少少会有一点厌烦的感觉，因此会对教师提出的问题有排斥感，缺乏解决问题的积极性。不过问题3又勾起学生的疑惑，因此学生的学习兴趣又有所增强。

心理学对人的注意规律研究表明：人在注意力集中的情况下，能更清晰、完整、迅速地认识事物和理解事物，因此教师的有效引入，不仅能“未成曲调先有情”，集中学生的注意力，激发学生的兴趣，激起学生的求知欲，而且能有效消除学生在其他课程中的延续思维，使学生快速进入新课学习的最佳状态，从而提高课堂教学效率，取得事半功倍的教学效果。

例如，一位教师在讲线性规划时，恰逢该班要进行义卖活动，所以教师顺势而为：“我们将要进行的义卖活动，班级总共提供了不超过300元的活动经费。现有两种购买方案，第一种是购买5元的学习用具，义卖时每件可得利润1元;第二种是购买3元的玩具，义卖时每件可得利润0.7元，现在让你来采购，你认为怎么购买赚取的利润最大？”这样，学生的注意力一下子被吸引过来，以决策者的身份进入求知状态，纷纷发表见解。教师顺利引入简单的线性规划问题。

（二）有效引入必须能为即将学习的新知做好铺垫

好的导入能为全节课的顺利进行奠定良好基础，使教学内容进一步展开，产生良好、积极的“连锁反应”。

两位教师在引入问题之后，学生的学习兴趣发生了逆转。教师A的问题虽然切合实际，但计算过程较麻烦、难度较大，因此学生学习兴趣下降。而且学生花费了近10分钟还不知道教师到底要他们用引入来解决什么问题，无形中增加了迷茫感，这也是学生学习兴趣下降的一个因素。多种因素的叠加，致使学生的学习兴趣逐步下降。而教师B的引入虽然简单枯燥，但通过问题3的设置，迅速调动了学生解决问题的动力，所以学生学习的积极性逐渐得到提高。还有一个需要注意的问题是，教师A引入问题的结果化归到求解“tan75°=tan（30°+45°）”上去了，与本节课“用α，β的正弦、余弦值来表示cos（α-β）的三角函数值”的主题相悖，从而导致学生分散了学习的注意力。

再如，一位教师在讲“等比数列”时，这样来引入：“很久以前，有位学者发明了国际象棋，国王非常高兴，决定奖励这位发明者，问他有什么要求，发明者说他什么也不要，只需要国王在棋盘上的64格中的第1格放入1粒麦粒，第2格放入2粒麦粒，第3格放入4粒麦粒，第4格放入8粒麦粒。依此类推，每一个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放完64个格子为止。国王一听，认为太简单了，就立即答应了，但是放着放着，国王就发现，集全国之力量也满足不了发明者的要求，你们知道是为什么吗？”于是，学生进行了热烈的讨论与计算：1+2+4+8+…+263=？

这位教师的引入以小故事为切入点，具有趣味性，激起了学生的好奇心，形式很好。然而，本节课的任务是让学生认识等比数列，初步建立起对等比数列的定义、公比以及通项公式知识的认识。这位教师的引入把学生引到了等比数列的求和上，与本节课的任务相向而驰。所以教师即使引入的内容再精彩，但是不能紧扣主题，仍然是无效引入。因此教师在引入时，必须紧紧围绕本节课的主题，切莫为了形式而使用“拿来主义”。

（三）有效引入的前提是教师提出的问题易解决、易理解

案例背景中，教师A提出的问题结合了实际，因此学生先期表现出有兴趣、有激情，但是在随后的计算过程中，学生发现数据的计算麻烦、难度较大，因此学习激情直线下降。即使教师再设法引导，学生也很难有开始的状态。而教师B设置的问题1和2因枯燥，学生比较不感兴趣，不过问题比较简单，因此学生能很顺利地解答;当问题3显示后，则马上勾起了学生的探求欲望，从而使课题的引入顺理成章，学生的激情逐步激发。所以教师在设置引入的问题时，一定要易理解、易解决。

（四）有效引入应力求短小精悍，切莫用时过长

一般而言，正常的课堂导入时间应控制在5分钟以内。导入时间过长，会显得喧宾夺主，不仅会使课堂导入显得庸俗繁杂，而且会影响整节课的教学进程。如果导入的时间过短，又可能会使课堂导入显得苍白无力，达不到预期教学的目的和效果。

再看导入时间分配，教师A的引入时间约为12分钟，而真正用作应用、熟悉、巩固两角差的余弦公式的学生练习时间，仅为8分钟左右。对比教师A，教师B的课堂引入简练，直奔主题，所以学生的练习时间有23分钟之多，这足可以解决很多学生对知识疑惑。所以哪个教师的课堂高效就一目了然。

从所做的调查问卷也可以看出，教师A冗长的引入引起了大多数学生的不满意，而这种不满意的心情势必会渗入后续的课堂教学中——学生对两角差的余弦公式的推导兴趣索然，比较不配合教师对知识的讲解、公式的推导，导致教师A对公式的推导用时比教师B多了2分钟。因此教师在设计课堂引入时，要时刻提醒自己：课堂引入方式的目的，是为了让学生快速集中注意力，激起他们强烈的求知欲，绝不是为了“作秀”。

（五）有效引入必须建立在学生的认知基础之上

一节高效引入的课堂，不仅要有趣，还要有效，而有效的引入必须建立在学生的认知基础之上。在科组后来的研讨中，教师就“为什么教师A有趣、有意义的背景却没有起到应有的效果？”进行了热烈讨论。很明显，问题就出现在教师所给出的引入上。

问题1：仰角的概念很多学生还不知道，而教师又没有给出明确解释。

问题2：根据实际问题建模，这是一个难点，作为本节课的引入环节不合适，增加了学生学习的困难度。

问题3：分别在RT△ABC和RT△ABD中求解相关数据，也增加了学生学习的困难度。

当多个困难点叠加时，学生对新知探求的兴趣就会直线下降。

而教师B设置的三个问题中，问题1和2利用了刚刚学习的特殊角的三角函数值，学生还有比较深的印象，所以即使教师A设置的问题没有让学生更感兴趣，但这种建立在学生认知基础之上的问题，能够让学生轻松进入下一个学习环节。美国著名的心理学家奥苏贝尔在其著作《教育心理学》中的扉页上写道：“如果我不得不将教育心理学还原为一条原理的话，我将会说，影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么，根据学生的原有知识状况进行教学。”所以，有效课堂引入必须符合学生的认知基础。

（六）有效引入必须结合学情

教师A的引入是课本举例的变形。课本的引入是：“某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上，小山高BC约为30m，在地平面上有一点A，测得A、C两点间的距离约为67m，从点A观测电视发射塔的视角（∠CAD）约为45°，求这座电视发射塔的高度。”教师A将书上离学生生活实际较远的例子改变为学生熟知的事物，拉近了数学与学生之间的距离，因此学生的反应非常热烈。遗憾的是，问题设计超越了学生的知识范畴，再加上所求的结果为tan（α-β），与本节课的主题有所偏离，所以影响了学生学习的热情。在评课时，建议相关人员对教师A的引入进行如下改进：“学校行知馆对面的小山上有一个凉亭。已知凉亭高5m，为了测量凉亭顶部的水平高度，我校高一某学习小组在地平面A处测得A、C两点间的距离为30m，从凉亭上观测AC与铅垂线的夹角为15°，你能求出这座凉亭的水平高度吗？”

改进后的问题变得比较简单，利用三角函数的定义求解BC即可。当学生得到BC=AC·cos15°时，教师就可以提出“cos15°怎么求？cos15°=cos（45°-30°）或者cos（60°-45°），它等于cos45°-cos30°吗？”进而引入本节课的主题。这样学生易理解，引入顺畅，用时较短，而且提出的问题又与课文中的例1相同，实现高效课堂。

参考文献：

[1] 杨红. 浅谈初中数学课堂引入的有效性[J]. 新课程：教育学术，2011（06）：88.

[2] 沙志峰. 高中数学课堂引入设计策略探寻[J]. 数学教学通讯，2013（03）：40+42.

[3] 李姣娟. 高中数学课堂引入设计的策略探析[J]. 高中数理化，2013（18）：30.

（责任编辑：廖  艺）