三角函数最值问题的破解策略

摘 要：从定义法、换元法、均值不等式和导数等视角来探讨三角函数最值问题的破解策略.

关键词：三角函数；最值问题；破解策略

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）13-0062-03

三角函数的最值问题是高考的难点，此类题型题干简短精练、内涵丰富，难度较大.那么，如何破解这一类试题呢？笔者从定义法、换元法、均值不等式和导数等视角来探讨破解此类最值问题的策略.

1 定义法

例1 函数f（x）=sinx-13-2cosx-2sinx（0≤x≤2π）的值域为（  ）.

A.［-22，0］    B.［-1，0］

C.［-2，0］D.［-3，0］

分析 本题是选择题的压轴题，确实有一定的难度.但注意到3-2cosx-2sinx=（1-cosx）2+（1-sinx）2，通过换元对式子进行处理，并且挖掘出余弦函数的定义，就可简化运算过程且避免讨论.

解析 设1-sinx=a，1-cosx=b，则有

y=f（x）=-aa2+b2.

因为（a-1）2+（b-1）2=1，所以点P（a，b）在圆（x-1）2+（y-1）2=1上.

设直线OP的倾斜角为α，作图可知0≤α≤π2.

所以y=-cosα∈［-1，0］.

故选B.

例2 已知实数x，y满足x2+（y-2）2=1，则ω=x+3yx2+y2的取值范围是（  ）.

A.（3，2］ B.［1，2］ C.（0，2］ D.（32，1］

解析  设M（x，y），∠MOx=θ，由三角函数定义可知cosθ=xx2+y2，sinθ=yx2+y2.

于是ω=cosθ+3sinθ=2sin（θ+π6）.

如图1，当点M在圆x2+（y-2）2=1上运动时：θ∈［π3，2π3］，于是θ+π6∈［π2，5π6］.

则sin（θ+π6）∈［12，1］.

故ω=2sin（θ+π6）∈［1，2］.

故选B.

例3 函数f（x）=cosx+112+8cosx+8sinx（0≤x≤2π）的值域为.

解析 由题意得

f（x）=12×1+cosx（1+cosx）2+（1+sinx）2.

设a=1+cosx，b=1+sinx，

则f（x）=12×aa2+b2.

因为（a-1）2+（b-1）2=1，

所以点P（a，b）在圆（x-1）2+（y-1）2=1上.

设直线OP的倾斜角为α，则0≤α≤π2.

所以f（x）=12cosα∈［0，12］.

2 换元法

例4 已知x∈（0，π），则f（x）=cos2x+2sinx的值域为（  ）.

A.（--8

，32］B.［1，32］C.（1，32］D.（-3，2］

解析  由f（x）=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx，设t=sinx，因为x∈（0，π），t∈（0，1］，g（t）=-2（t-12）2+32，所以g（t）∈（1，32］.

即f（x）的值域为（1，32］.

故选C.

点评 换元后，可将问题转化为我们熟悉的二次函数问题.

例5 求函数y=sinx+cosx，x∈［0，π2］的值域.

解析 设y=sinx+cosx，x∈［0，π2］，两边平方得y2=sinx+cosx+2sinxcosx.

设t=sinx+cosx，则sinxcosx=t2-12.

由于x∈［0，π2］，则1≤t≤2.

又由于y2=t+2t2-12在1≤t≤2上单调递增，则y2∈［1，22］.

则y=sinx+cosx在x∈［0，π2］上的值域为［1，234］.

点评 平方后换元，利用函数的单调性即可.遇到含有sinx+cosx和sinxcosx的式子时，设t=sinx+cosx，则sinxcosx=t2-12是常用的换元方法.

3 利用均值不等式

例6 已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是.

解析 f（x）=2sinx+sin2x=2sinx（1+cosx），

所以f 2（x）=4sin2x（1+cosx）2

=4（1-cosx）（1+cosx）3

=43（3-3cosx）（1+cosx）3

≤43（3-3cosx+1+cosx+1+cosx+1+cosx4）4

=274.

故f（x）max=332，当且仅当cosx=12时，取等号.

又因为f（x）是奇函数，所以f（x）min=-332.

此时cosx=12，sinx=-32.

点评 本题是2018年全国Ⅰ卷理科第16题，题干简短精练，内涵丰富，难度较大.对f（x）平方后，构造均值不等式即可求出f（x）的最大值.又f（x）是奇函数，从而得到其最小值.当然了，本题也可利用导数，通过单调性来求解.

例7 已知函数f（x）=sinxsin2x，则f（x）的最大值是.

解析 f（x）=sinxsin2x=2sin2xcosx=2cosx（1-cos2x）.

由均值不等式，得

f 2（x）=2（2cos2x）（1-cos2x）（1-cos2x）

≤2［2cos2x+（1-cos2x）+（1-cos2x）3］3

=1627.

当且仅当cos2x=13时取到等号.

所以f（x）max=439.

4 利用导数

例8 设当x=θ时，函数f（x）=sinx-2cosx取得最大值，则cosθ=.

解析 f ′（x）=cosx+2sinx，f（x）在x=θ处取得最大值，易知x=θ是f（x）的极大值点.

所以有f ′（θ）=0.

即cosθ+2sinθ=0.

又由题意可知，sinθ-2cosθ=5.

所以cosθ+2sinθ=0，sinθ-2cosθ=5.

解得cosθ=-255.

例9 已知函数f（x）=sinxcos2x，则f（x）的最大值是.

解析 f（x）=sinxcos2x=sinx（1-2sin2x），令sinx=t，则t∈［-1，1］.

则问题等价于求函数g（t）=t-2t3，t∈［-1，1］的最大值.

则g′（t）=1-6t2.

易知g（t）在（-66，66）上单调递增，在［-1，-66），（66，1］上单调递减.

又g（-1）=1，g（66）=69，

所以g（t）max=g（-1）=1.

即f（x）的最大值为1.

例10 函数f（x）=sinx5+4cosx的值域为.

解析 令cosx=t，则t∈［-1，1］.

因为f 2（x）=sin2x5+4cosx=1-cos2x5+4cosx=1-t25+4t.

设g（t）=1-t25+4t，t∈［-1，1］，则

g′（t）=-2t（5+4t）-4（1-t2）（5+4t）2

=-2（t+2）（2t+1）（5+4t）2.

由g′（t）<0，得-12

由g′（x）>0，得-1

即函数g（t）在（-1，-12）单调递增，在（-12，1）单调递减，且g（-1）=0，g（-12）=14，g（1）=0.

所以0≤g（t）≤14.

即0≤f 2（x）≤14.

所以f（x）∈［-12，12］.

5 结束语

求三角函数的最值问题，可以说，导数法是通法.只是对于某些问题，选择定义法、换元法和均值不等式，可能更简单一些.通过换元后，得到的函数不复杂，而且容易求出函数的单调区间的题，可考虑使用导数法［1］.

参考文献：

［1］

李鸿昌，杨春波，程汉波.高中数学一点一题型[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2021.

［责任编辑：李 璟］