阴影图形面积的求解思路分析

顾勇进

摘要：计算平面图形阴影面积是中考中常出现的一类问题，常见的求解平面图形阴影面积的基本方法有和差法、移动法和代数法等.本文中以不同例题为对象，具体分析求阴影面积问题常见的解题思路.

关键词：图形与几何；阴影面积；解法思路

求平面图形阴影部分的面积是中学平面几何类问题中的难点，试题灵活多变，需要学生能够整合题目信息，综合思考问题，非常考查学生的逻辑思维能力.因此，掌握平面图形阴影部分面积问题的解题技巧是初中数学教学的重点.

1 和差法

对于不规则的组合图形，可将其分割成几个基本的规则图形，再分别计算几个基本的规则图形的面积，最后通过几个基本的规则图形的面积的和或差求出整个阴影图形的面积.解答这类问题，思路一般为：①根据已知条件，将不规则几何图形分割成几个基本的规则图形；②分别计算几个规则图形的面积，通过相加相减即可求出所求阴影部分面积.

例1有一个圆心角为90°的扇形AOB，其半径OA=2 cm，弧AB的中点为C，线段OB的中点为D，求图1中阴影部分的面积.

分析：首先连接OC，过点C作CE⊥OB于点E，由C为AB的中点，计算可得S扇形COB和S△COD的值，最后根据已知条件即可得出阴影部分的面积.

图2

例2如图2所示，有一个的扇形AOB，∠AOB=100°，OA=12，OC=CB，∠DCO=90°，以OC为半径的CE交OA于点E，求图中阴影部分的面积.

分析：首先连接OD，DB，根据已知条件可求出扇形AOD的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COE的面积，再减去S空白BDC即可求出阴影部分的面积.

2 移动法

移动法是指将图形中的某一部分切割下来移动到合适的部位，使其组合成一个新的基本规则图形，以便更易求出阴影部分的面积.具体方法有：平移、旋转、割补、等积变换等.利用该方法求阴影部分面积的大致思路为：①根据已知条件，对图形中某个部分进行切割并恰当地移动；②组合成一个新的基本规则图形，计算即可求出阴影部分的面积.具体解题思路和步骤如以下例题.

例3如图3所示，半圆O的直径为AB，AO=R，AC=CD=DB，求阴影部分的面积.

分析：此阴影部分面积不易求，可应用等积法，转化为易求出面积的图形.首先连结OC，OD，根据已知可得S阴影=S扇形COD，最后计算即可求出阴影部分面积.

例4如图5，大半圆O与小半圆O1相切于点C，大半圆的弦AB与小半圆相切于点F，且AB∥CD，AB=4 cm，求阴影部分的面积.

分析：作OE⊥AB于点E，连接O1F，OB，根据切线的性质得O1F⊥AB，再判断四边形OO1FE为矩形，得到OE=O1F，然后根据垂径定理得到BE=12AB=2.在Rt△OBE中，利用勾股定理得OB2-OE2=BE2=4，再利用S阴影=12S大半圆O-12S小半圆O1，通过计算即可求出阴影部分的面积.

3 代数法

代数法是指当有些阴影部分比较复杂，不容易求面积时，可以借助于列方程（组），然后解方程（组）求出阴影部分的面积.解题的大致思路为：①根据题中已知条件列出方程（组）；②通过解方程（组）即可求出阴影部分的面积.具体解题思路和步骤如以下例题.

例5如图7所示，有一个正方形，其边长为2，分别以每条边为直径

在正方形内作圆，求出阴影部分的面积.

分析：若用一般方法计算阴影部分的面积，过程很复杂，甚至会导致计算错误，因此此题选择用代数法求阴影部分的面积.首先设阴影部分面积为x，空白部分面积为y，由题意可列出方程组，然后解方程组即可求出阴影部分的面积.

例6如图8所示，已知圆O的直径AB垂直弦CD于点E，连接AD，BD，OC，OD，且OD=5，若∠ADO∶∠EDO=4∶1，求阴影部分的面积.

分析：首先根据已知条件，设∠ODA=4α，则∠BDC=4α，且∠ODE=α.又∠ODA+∠ODE+∠BDE=90°，即可得到关于α的方程，最后解方程即可求出阴影部分的面积.

根据上述不同的求阴影部分面积问题的分析，可以得到和差法、移动法、代数法的具体解题思路.针对不同类型问题，采取相对应的解题方法进行解答.在解题过程中，应加强对问题条件的分析应用，借助已知条件和相关性质去灵活解答，以此提高解题效率.不同思路对应的解题方式各不相同，有助于学生采取正确合理的思路快速解答求阴影部分面积这一类问题.

参考文献：

潘秋萍.初中数学阴影面积计算的几种方法.数理化解题研究（初中版），2013（9）：17.

齐永利.转化是求阴影部分面积的关键.初中数学教与学，2014（21）：15-16.