轴对称在线段和差最值中的应用

金花

摘要：最值问题在中考试题中呈现多样性的特征，轴对称在线段和差最值中的应用十分典型，其主要特点是立足基础、拓展思维.本文中以具体试题为例，分析并提出相应的教学策略，渗透模型观念，加强学生推理能力，发展学生的核心素养.

关键词：最值问题；教学策略；模型观念；推理能力

在近几年各地中考中，几何最值问题屡屡受到命题者的关注，此类问题不仅涉及平面几何的基础知识，还涉及几何图形的性质、平面直角坐标系、方程与不等式、函数知识等.因此，一批立意新颖、构造精巧、考点突出的新题、活题脱颖而出.这类试题能较好地考查学生几何探究和推理的能力及数学思想方法的运用.线段和差的最值问题也是考查的热点问题之一.

1 试题分析

试题（2020年无锡中考第18题）如图1，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A，⊙B的半径分别为2和1，P，E，F分别是边CD，⊙B，⊙A上的动点，则PE+PF的最小值是.

对于本题，当年很多考生觉得这道题解决起来非常困难，究其原因：学生对于通常情况下（已知两个定点）距离之和最小的问题有自己的解决设想，但是这道题有点超出常规，主要在于圆上的两个动点E，F关于直线CD的对称点无法确定.其实，学生忽略了E，F两点所处的位置——E，F分别是⊙B，⊙A上的动点，而对于不相交的两圆，当两点为连接两圆圆心的线段与两圆的交点时，它们之间的距离最短，故只要作出点B关于CD的对称点B′，即可作出⊙B关于CD的对称图形⊙B′，连接AB′，与⊙A，⊙B′的交点即为点F和点E的对称点E′.

本题是运用轴对称性质的一个典型问题，所不同的是，将问题的背景设置到菱形和圆中，对于这一类问题，只要能抓住问题的关键，那么问题的解决将会变得很简单.

简解：作点B关于CD的对称点B′，因为菱形的锐角为60°，所以点B′应在AD的延长线上，且AD=DB′，此时⊙A，⊙B′与AB′的交点即为点F和点E的对称点E′.由对称性，可知DB′=AD=3.又两圆的半径分别为2和1，所以E′F的最小值为3.即PE+PF的最小值是3.

2 教学启示

2.1 要求学生自己作图，培养用图探“路”的意识

有经验的教师在教学过程中，通常会帮助学生归纳、列举一些常见的基本图形，因为基本图形往往具有一定代表性，能化繁为简，帮助学生在复杂的问题中抓住思考的方向，缩短思考的途径，更快找到解决问题的突破口.其实，教师在帮助学生做归纳工作之前，不如让学生自己去画图、探究.画图是动手操作的过程，草图能帮助学生挖掘出图形背后隐藏的信息，从而寻找到解决问题的切入点、突破口.上述试题就是一个很好的例子，通过画图思考问题的方向，在做中思、做中悟、做中学，在做中自然地发现问题、思考问题并解决问题.

2.2 善于归纳常用解法，培养学生建模意识

数学问题千变万化，但是很多问题的解决还是有章可循的.对于线段的和差取值问题，真正需要把握的是以下几个常见的基本题型，这也是解决这一类问题的突破口.

练习1如图2，已知直线l及直线外两点A，B（点A，B在直线同侧）.

（1）在直线l上求作一点P，使得PA+PB的值最小；

（2）在直线l上求作一点Q，使得|QA-QB|的值最大.

练习2如图3，已知直线l及直线外两点A，B（点A，B在直线两侧），在直线l上求作一点Q，使得直线l恰好平分∠AQB.

练习3如图4，在∠ACB内部有一点P，在∠ACB两边AC和BC上分别找一点M，N，使得△PMN的周长最短.

上述三个练习题是利用轴对称解决问题的最基本的题型，通过归纳同一类有共性的图形，增强学生对图形的认知，深化学生对图形性质的理解，从而促进问题的解决，同时也有利于培养学生建模的意识.

2.3 重视知识的综合运用，发展学生推理能力

对于不会做的题目，学生讲得最多的一句话就是“这道题我看都看不懂”，其实这句话从一个角度反映了学生不会站在数学的角度思考问题.解题

过程中的思考，包括以下几个环节：

（1）分析题意，从中获取有用的信息

从已知条件中捕捉有用的信息，对于解决问题而言至关重要.在审题的过程中，要弄清楚：条件是什么，分别有哪些？结论是什么，分别有哪些？如何建立条件与结论之间的关系？

（2）相关知识点的运用

对条件有了深刻的认识后，就可以思考相关的已有知识，包括有关的定理、公式、性质、基本图形等，进而寻求解题思路，所有这些都是解决问题的依据.

（3）综合运用，解决问题

结合从题中获取的重要信息，综合利用所学知识、方法和技能，问题必然迎刃而解.

下面就两条线段距离之和最短作简单的说明：

变式1如图5，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为.

变式1虽然将问题设置在正方形中，但还是比较好把握的.只要将正方形边框擦掉，问题即可转化为：已知线段AC以及线段AC外两点E，B，在线段AC上找一点P，使得PE+PB的值最小.这样就将问题转化为练习1中的基本题型.

教师在教学中，要能够指导学生从比较复杂问题中抽象出基本图形，这样再复杂的图形问题，都会比较容易解决.

变式2如图6所示，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）.

A.1

B.3

C.2

D.3＋1

变式2不仅要考虑距离和最小，更要考虑垂线段最短的问题.

变式3如图7，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）三点.

（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；

（2）若M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值.

变式3将问题放置在抛物线背景中，在解决第（2）小题时，可从中找到基本图形——抛物线的对称轴以及这条直线外两点O，A，在对称轴上找到一点M，使得AM+OM的值最小.要解决这个问题，利用抛物线的对称性，可知AM+OM的最小值即为线段AB的长.

变式4如图8，A为⊙O中半圆上的一个三等分点，B是弧AM的中点，P为直径MN上的一动点，⊙O的半径为1，求AP+BP的最小值．

类似地，变式4同样转化为已知直径MN以及MN外两点A，B，在MN上找到一点P，使得AP+BP的值最小．只要利用圆的对称性，即可在圆上找到点A的对称点A′，利用圆心角的性质求出∠A′OB的度数为90°，就可以求出A′B即AP+BP的最小值为2．

对于几何中一些常见问题和典型问题的教学，教师应该做个有心人，能够在教学过程中指导学生进行归纳、整理，对于同种类型的问题要学会比较，找出解决问题的关键所在.在教学中，要能够突显“要求学生自己作图，培养用图探路的意识；善于归纳常用解法，培养学生建模意识；重视知识的综合运用，发展学生推理能力”三个方面的训练，培养学生分析问题的能力和逻辑思维能力，深入浅出地解决问题并揭示问题的本质，让学生在遇到问题时，通过猜想、验证等培养演绎推理能力，在整理总结中形成归纳推理能力，从而在变式训练中发展推理能力.