基于整体概念的“圆”章节起始课探究

朱文兰

摘要：整体概念的章节起始课教学，是提升学习者高水平数学思维，实现学习者对学习内容的深入、系统理解的有效途径.本文中教学设计以“圆”章节起始课为例，按从整体到局部再到与其余图形关系的顺序展开研究.从圆上的一个点、两个点、三个点……依次构造不同的图形，确定本章的研究对象和研究内容，从而体现整体概念的章节起始课的价值和意义.

关键词：整体概念；章节起始教学

整体概念教学是在系统思维指导下，以课程标准为依据，按步骤整体设计教学，从而提高教学成效，提升学生的核心素养.“整体”即从教学目标出发，以全局的视角系统地理解教材、整合教材，在教学设计中统筹兼顾地安排基本知识、渗透基本思想方法，把知识和方法融入到学科体系中去教学，其目的是提高学生的学习效率，提升学生的数学思维.笔者在圆的章起始课中围绕整体概念进行了探讨，与大家分享.

1 教学分析

1.1 圆在封闭平面图形体系中的核心地位

圆作为常见的几何图形之一，是曲线型图形的代表.小学阶段学生初步建立了对“曲线”这一抽象概念的认识；初中阶段实现从直观感知到代数表达的飞跃，不仅深化了对圆的理解，更促进了对几何问题解决能力的培养；高中阶段圆是圆锥曲线的基础，还作为复数、向量、微积分等高级数学内容的重要载体，展现了其在数学体系中的基石作用.

1.2 教学目标与方法

本章是在小学学习圆的基础上，对圆的概念和性质的进一步系统研究.对比八年级对直线型几何图形（三角形、四边形）的研究过程，九年级对于圆的研究在思想方法上与直线型图形既有联系又有区别.在圆的性质的发现与探索过程中，如何“由近及远”地发现圆的性质链，如何从”整体—局部”理解并掌握圆的对称性（轴对称性、旋转不变性）是本章学习的重点.

本章教学中教师不仅要有意渗透研究图形组成要素、相关要素之间的数量关系和位置关系，还要从整体上利用圆的对称性发现圆的有关性质.三角形、四边形等的学习，是沿着“定义—性质—特例—应用”的研究路径，用“定性—定量”“整体—局部”“一般—特殊”“特殊—一般”等研究方法，得到了它们的性质，圆也将用类似的学习路径和方法来探究.

2 “圆”章节起始课教学过程

2.1 创设教学情境，获得研究对象

教师利用多媒体让学生欣赏生活中的圆，接着让学生动手画一画并思考：

（1）请在纸上画出2个圆，观察画圆的过程，你能归纳出圆的定义吗？

追问：你还有不同的定义方法吗？

（2）圆上的点有什么性质呢？

追问：你能解释为什么车轮是圆形的吗？

师生活动：让学生通过观察、归纳共性，得到圆的静态定义，即在平面内到一定点（圆心）的距离等于定长的点的集合；通过在操场上画一个圆的过程得到圆的动态定义，即在同一平面内，一条线段绕着其固定的一个端点（圆心）旋转一周，另一个端点的轨迹所形成的图形.师生一起对定义中的关键词进行辨析，明确圆心确定了圆的位置，半径确定了圆的大小.鼓励学生从不同角度理解圆，为学生从直观描述到严谨表述构建通道.

教学说明：在通过圆规画圆，直观感知圆上点的本质特征后，引导学生归纳圆的定义，发展学生抽象概括能力.在用“发生法”定义圆的过程中，理解圆的相关要素（圆心、半径）的作用，为进一步探索圆的性质做好铺垫.在归纳圆的定义“一静（集合严格定义）一动（旋转描述法定义）”的过程中让学生经历从具体到抽象、从直观感受到严密表述的的思维过程.利用追问引导学生把数学知识应用于实际生活，从圆的定义出发，得到圆上点的性质之后，即车轮上每一个与地面接触的点到轴心的距离相等，从而解释生活中圆形轮胎滚动更平稳的现象，突出知识的背景与应用.

2.2 基本图形与性质探索

2.2.1 合作探究：认识圆中相关元素

问题1得到圆的定义后，还要研究圆的哪些内容呢？从什么角度去研究呢？

问题2在圆上任取两个点，连接这2个点，能得到什么图形呢？这些图形有特例吗？

追问：周长相等的圆是等圆吗？弧长相等的两段弧是等弧吗？

问题3用线段连接圆上三个点，可以构成什么图形呢？连接圆上四个点呢？

问题4把问题2和问题3所得的图形再和圆心、半径联系起来，你又有什么发现呢？

问题5我们研究了单个圆的图形之后，还可以研究什么呢？

师生活动：通过问题1，引导学生从整体（对称性）到局部（图形的要素和相关要素）入手研究圆的性质.通过问题2，学生发现圆上两条特殊的线，从而得到弧和弦的概念，其中半圆和直径是特殊的弧和弦.通过追问，师生一起辨析等圆和等弧的含义.通过问题2～4，引导学生对圆依次添线成为图1中的各个图形，这样本章的研究内容和重要图形就都通过逻辑关系有序呈现出来.通过问题5，引导学生还可以研究圆与其他图形的关系.

教学说明：通过问题链，引导学生从定义出发，“由近及远”地对圆展开研究，在研究图形的性质就是研究图形基本要素与相关要素确定关系的观念引导下，发现圆的基本要素及相关要素是重要的内容.圆的相关要素如弧、弦、圆心角、圆周角等的发现不是直接观察能够得到的.连接圆上的两个点，能得到两类特殊的线.一是弧，有优弧、劣弧之分，有特殊的弧——半圆（从位置角度看，是直径所对的弧；从数量角度看，是圆周的一半）.二是弦，有特殊的弦——直径（从位置角度看，是过圆心的弦；从数量角度看，是同圆或等圆中最长的弦）.连接圆上三个点，可以构成圆周角、圆内接三角形.得到这些基本图形之后，再和圆心、半径联系起来，则圆中所有相关要素全部被发现和确定.

2.2.2 合作探究：量化点与圆位置关系

问题6你能说出同一平面内点与圆的位置关系吗？

问题7如何用圆心和半径表示点与圆的位置关系呢？

教学说明：圆把平面上的点分成了三部分，类比圆上点的代数特征，可以利用圆心和半径把平面上点与圆的位置关系转化为代数关系.同样可以用数量关系确定点与圆的位置关系.类似地，以后研究直线和圆的位置关系时，图形的几何特征与代数特征也可以互相转化.这样通过知识间的联系和综合，发展学生的理性思维，实现图形的性质、图形的变化和图形证明的有机结合.

2.3 思维训练与能力培养

例1如图2，在A地正北80 m的B处有一幢民房，正西100 m的C处有一变电设施，在BC的中点D处是一古建筑.因施工需要，必须在A处进行一次爆破.为使民房、变电设施、古建筑都不遭到破坏，问爆破影响面的半径应控制在什么范围内？

变式1如图3，在A地正北30 m处有一点B，正西40 m处有一点C，BC所在的直线为公路.因施工需要，必须在A处进行一次爆破.为使公路不遭到破坏，问爆破影响面的半径应控制在什么范围内？

变式2如图3，在A城正北300 km处有一点B，正西400 km处有一点C，从A地测得一热带风暴中心O从C处沿CB方向移动，距风暴中心200 km的范围内为受影响区域.问：A城是否会受到这次风暴的影响？为什么？

变式3（挑战）将变式2中“距风暴中心200 km的范围内为受影响区域”改为“距风暴中心260 km的范围内为受影响区域”.问：A城是否会受到这次风暴影响？若受到影响，影响会持续多长时间？（风暴中心的移动速度为20 km/h.）

教学说明：让学生尝试着自己画图，独立思考后，教师引导学生把实际问题转化为数学问题，结合图2找出所要求的量.进一步熟悉点与圆的位置关系的判定，帮助学生从实际生活中发现数学问题，把数学知识运用于实际生活中去.

2.4 整体概念的渗透与巩固

问题面对一个新的几何图形，我们将怎样开展研究？

师生一起绘制思维导图，如图4.

教学说明：引导学生回顾认识圆的过程，首先通过“画一画”，观察画圆过程得出圆的定义，然后通过从圆上取一点、两点、三点……获得了弧、弦及半圆、直径等概念，再将这些相关元素与圆心和半径联系起来，揭示圆的系统研究内容，最后重点研究点与圆的位置关系.引导学生归纳按照“由近及远”“从系统内到系统外”按次序、有层次研究新图形的方法和步骤.

3 教学反思

3.1 联系越丰富，理解越深刻

促进深刻理解，需要打开学生学习与发展的内部转换过程.通过如何画出一个圆，从而用“发生法”描述圆的定义，归纳圆上点的共性，这样多角度多维度地把圆的相关知识有效融合起来，能有效优化圆的知识结构和学生思维结构，对学生后续的学习和发展产生积极的影响.

3.2 思考有逻辑，研究对象有序呈现

初中阶段平面几何内容的教学，是培养学生思维的严谨性、逻辑性和系统性的优良载体.“圆”的第一课时，有圆（圆心、半径）的定义，弧（劣弧、半圆、优弧）、弦（直径）、等圆、等弧等概念.教师以整体性原则为指导，在圆上任意取两点并连接这两点，圆上任意取三点并连接这三点……把所得图形与圆心、半径联系起来，从而得到本章所要研究的对象.通过逻辑思考发现不同知识点之间的联系，能简化学生对数学对象的认识，避免认知上的重复，从而提升学生的系统性思维，加强数学对象之间的内在逻辑联系，实现为“迁移而教”的目的.

参考文献：

郑瑄，吴增生.“圆”章起始课教学的思考与实践.中国数学教育，2019（21）：49-53.

章建跃.“圆”的课程教材设计与教学.数学通报，2020，59（7）：1-7，34.