基于关键能力考查的“解三角形中的最值与范围问题”微专题复习课教学

黄柱凤　陈兆坚

［摘 要］基于高考评价体系和数学学科特点，高考数学命题越来越加强对关键能力的考查，由考知识向考能力转变。解三角形中的最值与范围问题是高考数学的考查热点，是考查学生关键能力的重要载体。结合学生的学情，通过微专题复习，可让学生不仅掌握利用基本不等式和三角函数求解三角形中的最值与范围的方法，而且能够让学生通过比较和思考，发现解题规律和策略。文章以高三复习课“解三角形中的最值与范围问题”为例对基于关键能力考查的微专题复习课教学进行探讨。

［关键词］关键能力；解三角形；最值；范围

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）08-0033-03

纵观近几年的高考数学试卷，解三角形中的最值与范围问题考查频率不低，一般处于解答题第二小问的位置，分值大多为5～6分。对于解三角形中的最值与范围问题，笔者结合本校学生的实际情况，采用微专题的形式引导学生复习。而选择入口小、针对性强的微专题，能让学生在完成相关知识内容复习的同时，培养逻辑推理、直观想象、数学运算等数学学科核心素养。

本文以高三复习课“解三角形中的最值与范围问题”为例，对基于关键能力考查的微专题复习课教学进行探讨。

一、教学过程

（一）忆一忆

【例1】［广西南宁市2023届高中毕业班第一次适应性测试数学（理科）第17题］在[△ABC]中，角[A、B、C]的对边分别为[a、b、c]，已知[（b-c）（sinB+sinC）=a（sinA-sinC）  ]。

（1）求[B]；

（2）若[△ABC]为锐角三角形，[b=3]，求[a2+c2]的取值范围。

解：（1）由[（b-c）（sinB+sinC）=a（sinA-sinC）]，根据正弦定理可得[（b-c）（b+c）=a（a-c）]，

所以[a2+c2-b2=ac]，由余弦定理可得[cosB=a2+c2-b22ac=12]，∵[B∈（0，π）]，∴[B=π3]。

（2）由余弦定理得[b2=a2+c2-2accosB]，所以[3=a2+c2-ac]，即[a2+c2=3+ac]，

由余弦定理得[asinA=csinC=bsinB=332=2]，即[a=2sinA]，[c=2sinC]，又[C=2π3-A]，所以[ac=4sinAsinC=4sinAsin2π3-A=23sinAcosA+2sin2A][ =3sin2A-cos2A+1=2sin2A-π6+1]，由[△ABC]为锐角三角形，得[0

对于第（2）小问，学生利用基本不等式求出了最大值，但取值范围的左端点求不出。可见，学生对基本题型的解题策略不熟悉。

设计意图：通过回顾广西南宁市2023届高中毕业班第一次适应性测试数学（理科）第17题，让学生知道在解决三角形中的取值与范围问题时，可以先把边转化成角，再利用三角函数求解，为本节复习课的教学做好铺垫。

变式1：若[b=3]，求[a2+c2]的最大值。

设计意图：第（2）小问条件不变，问题改变，把求取值范围变成求最大值，可由此唤醒学生利用基本不等式求最值的经验，同时为引出例题做好铺垫。

（二）讲一讲

【例2】（2020年全国高考新课标Ⅱ卷理科数学第17题）[△ABC]中，[sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC]。

（1）求[A]；

（2）若[BC=3]，求[△ABC]周长的最大值。

解：（1）设[△ABC]三个内角[A]、[B]、[C]的对边分别为[a]、[b]、[c]，由正弦定理[asinA=bsinB=csinC=2R]得[a2-b2-c2=bc]，由余弦定理得[cosA=b2+c2-a22bc=-12]，∵[A∈（0，π）]，∴[A=2π3]。

（2）解法一：（利用基本不等式）

由（1）以及余弦定理得[a2=b2+c2-2bccosA]，代入数据化简得[a2=b2+c2+bc]， 即[（b+c）2=a2+bc=9+bc]，故[bc=（b+c）2-9]，由均值不等式得[bc≤b+c22]，将其代入上式得[（b+c）2-9≤（b+c）24]，

当且仅当[b=c]时等号成立，解得[b+c≤23]，所以[△ABC]的周长[a+b+c]的最大值为[3+23]。

解法二：（利用三角函数）

由正弦定理得[bsinB=csinC=asinA=23] ，即[b=23sinB]，[c=23sinC]。

记[△ABC]的周长为[C△ABC]，则[C△ABC=3+23（sinB+sinC）]，

[∵A+B+C=π]， [∴C=π3-B]且[B∈0，π3]，[C△ABC=3+23sinB+sinπ3-B=3+23sinB+π3]，

[∵B+π3∈π3，2π3] 所以当[B+π3=π2]时，[sinB+π3]有最大值1，所以[△ABC]的周长的最大值为[3+23] 。

设计意图：本题的重点在于第（2）小问，它可以采用两种解法进行解答，进而复习巩固用基本不等式和把边转化成角利用三角函数求最值的方法。而该题运用基本不等式求最值更便捷。该小问的难点是方法的选取和三角函数的化简。课堂上，教师首先投影学生做题情况并让学生讲解思路，然后对学生的答题规范情况和思路进行点评，最后给出规范的解答过程。

变式2：（2）求[△ABC]周长的取值范围。

设计意图：利用基本不等式，只能求出取值范围的最大值，取值范围的左端点只能依据三角形两边之和大于第三边；利用三角函数，取值范围的左右端点依然可以结合角的范围得到，此题并没有体现三角函数求取值范围的通法的优越性。

变式3：（2）在锐角[△ABC]中，若[A=π3]，[BC=3]，求[△ABC]周长的取值范围。

设计意图：增加“在锐角三角形中”这一条件，如果利用基本不等式求解，用不到锐角三角形这个条件；但如果把边转化成角再利用三角函数求取值范围，可以直接利用锐角三角形角的范围求解。该变式体现了三角函数解法的优越性和通用性，让学生感受到这两种解法的区别，从而总结两种解法及其适用条件。

（三）测一测

在[△ABC]中，角[A、B、C]所对的边分别为[a、b、c]，已知[3b=2asinB]。

（1）求角[A]的大小；

（2）若[a=6]，求[b+c]的取值范围。

解：（1）由[3b=2asinB]及正弦定理化简得[3sinB=2sinAsinB]，

∵[sinB≠0] ， ∴[sinA=32]， 由锐角三角形知[A=60°]。

（2）由正弦定理得[bsinB=csinC=asinA=43]，故[b=43sinB]，[c=43sinC]，[∵A+B+C=π]，[A=60°]，∴ [C=120°-B]，

[∴b+c=43sinB+sin（120°-B）=4332sinB+32cosB=12sin（B+30°）]，

由锐角三角形得[0°

由三角函数图象知[sin（B+30°）∈32，1]， ∴[b+c=12sin（B+30°）∈63，12]。

设计意图：本题的重点在于第（2）小问，让学生对在例题和变式中总结的解法进行演练，学会快速地选择求取值范围的方法，熟练地把边转化成角再利用三角函数求解。

（四）拓一拓

（1）（2014年全国高考新课标Ⅰ卷理科数学第16题）已知[a、b、c]分别为[△ABC]三个内角[A、B、C]的对边，[a=2]，且[（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC]，则[△ABC]面积的最大值为               。

（2）（2011年全国高考新课标理科数学第16题）在[△ABC]中，[B=60°]，[AC=3]，则[AB+2BC]的最大值为              。

（3）（2019年全国高考新课标Ⅲ卷理科数学第18题）[△ABC]的内角[A、B、C]的对边分别为[a、b、c]，已知[asinA+C2=bsinA]。

（Ⅰ）求[B]；

（Ⅱ）若[△ABC]为锐角三角形，且[c=1]，求[△ABC]面积的取值范围。

设计意图：该环节的训练题选自高考真题，一方面让学生了解此类题型在高考中出现的频率不低，另一方面让学生进一步加深和巩固对该题型的理解，学会灵活应用，进而提升学生解决问题的能力，培养学生的逻辑思维。

二、教学反思

（一）精选习题

本节课的习题选用模拟题、高考真题及相应变式，具有代表性和典型性。以广西南宁市2023届高中毕业班第一次适应性测试数学（理科）第17题作为例题，对近十年全国高考数学试卷中的解三角形中的最值与范围问题进行分析。该类题型以中等难度题和基础题为主，通常利用基本不等式和三角函数来求解。为了更好地让学生复习巩固旧知、获取新知，提高学生分析问题、解决问题的能力，教师精选习题。本节课教师选取2020年全国高考新课标Ⅱ卷理科数学第17题作为例题，引导学生运用基本不等式和三角函数两种方法解题，并对高考真题的问题进行变式，把求最值变成求取值范围，再变式添加锐角三角形这一条件。如此，让学生学会根据题目所给的条件和问题内容选择解题方法，以及留意每种解题方法在使用过程中需要注意什么。“测一测”中的习题主要让学生熟悉题型、解题方法和书写步骤。

（二）一题多变

本节课的设计让学生经历由求最值到求取值范围，一题多变，由浅入深，层层推进。以2020年全国高考新课标Ⅱ卷理科数学第17题作为例题，对例题进行三次变式，以加深学生对该类题型的理解和认识，培养学生的创造性思维。

（三）规范书写

本节课的习题以解答题的形式呈现，而解答题需要学生书写规范的解答过程。为了让学生规范书写，教师在每道习题后面都参考高考答题卡的形式设计了相应的答题框，旨在让学生养成在规定地方答题的习惯。同时，通过多媒体投影对学生的答题情况进行点评，并给出规范的答题过程。让学生规范书写答题过程，这不仅是高考的要求，还是对学生关键能力的培养要求。

（四）预留时间

本节课在解答例题和讲解环节都给学生留足思考的时间，并让学生说明自己是怎么想的；在“测一测”环节中更是模拟考试场景让学生动笔作答，展现解题过程，调动学生的主观能动性，让课堂活起来。课堂上给学生思考表达的时间，有助于学生理解吸收知识，同时便于教师了解学生的思考方式，更好地实现教学目标。而这也有利于培养学生独立思考的习惯，提升学生的思维品质，提高学生的语言表达能力和逻辑推理能力。

综上所述，在高三第二轮复习教学中，教师要深入研究学情、考情，发现学生的问题，根据学生的实际情况采用针对性的复习策略，帮助学生解决困惑，有效复习。通过本节课的微专题复习，学生掌握了解决三角形中的最值与范围问题的基本思想方法，构建了完整的知识网络，更重要的是关键能力得到了提升。

［   参   考   文   献   ］

［1］  韩雪.发现问题本质 提升解题能力：以“一类含二次形式的多元变量最值问题”为例谈高三二轮微专题的教学［J］.中学数学教学参考，2020（34）：52-54.

［2］  李瑞杰.一节高三复习课的设计与反思［J］.中学数学教学参考，2020（31）：44-45，51.

［3］  姚发权.基于关键能力考查的“等差数列与等比数列”复习课设计示例［J］.中学数学教学参考，2023（1）：54-56.

（责任编辑 罗 艳）