与面积有关的二次函数综合题探析

戴学良

［摘 要］在初中数学中，与面积有关的二次函数综合题比较常见，学生普遍觉得比较困难。文章结合几道例题，探讨与面积有关的二次函数综合题的解题策略，旨在帮助学生突破难点，发展学生思维，提升学生核心素养。

［关键词］二次函数；面积；综合题；初中数学

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）08-0030-03

二次函数综合题的类型比较多，其中二次函数与图形面积综合的类型题比较常见，如求三角形面积最大值，求三角形面积比最大值，对称轴分平行四边形为定比求字母的值，四边形面积是三角形面积的固定倍数求字母的值等。下面结合几道例题对与面积有关的二次函数综合题进行分析探讨。

一、求三角形面积的最大值

在抛物线所在的平面直角坐标系内求三角形面积的最大值时，通常先根据三角形的面积公式建立二次函数模型，利用二次函数的性质求得三角形面积的最大值。

［例1］如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线[y=ax2+bx-4]与[x]轴交于点[A（-2，0）]，[B（4，0）]，与[y]轴交于点[C]，点[D]为[BC]的中点。（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点[P]是第四象限内该抛物线上一动点，求[△BDP]面积的最大值。

分析：（1）把点[A]、[B]的坐标代入抛物线的表达式，求出[a]、[b]的值，从而求得抛物线的表达式；（2）过点[P]作[PQ⊥x]轴交[BC]于点[Q]，先求出点[D]的坐标，设[Pm，12m2-m-4]（[0

解：（1）∵抛物线[y=ax2+bx-4]与[x]轴交于点[A（-2，0）]，[B（4，0）]，∴将A（-2，0），B（4，0）代入[y=ax2+bx-4得][4a-2b-4=0，16a+4b-4=0，]解得[a=12，b=-1，]∴该抛物线的函数表达式为[y=12x2-x-4]。

（2）如图2所示，过点[P]作[PQ⊥x]轴交[BC]于点[Q]，∵[B（4，0）]，C（0，-4），点[D]为[BC]的中点，∴D（0，-2），设[Pm，12m2-m-4]（[0

评注：在坐标平面内求斜三角形的面积，一般要转化为有一边与坐标轴平行的三角形面积的和或差，因为这样便于用点的坐标的和或差表示线段的长，体现了化斜为正的数学思想。

二、求三角形面积比的最大值

求三角形面积比时，如果两个三角形是相似三角形，则它们的面积比等于相似比的平方；如果两个三角形是同高三角形，则它们的面积比等于底边之比。当面积比转化为线段比后，需要进一步将线段比转化为二次函数模型，利用二次函数的性质求面积比的最大值 。

［例2］如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线[y=-12x2+mx+4m]的图象交[x]轴于点[A]、[B]，交[y]轴于点[C（0，4）]，点[P]是第一象限内抛物线上的一个动点，连接[AC]、[CP]、[PA]，[PA]与直线[BC]交于点[D]。（1）求抛物线的表达式；（2）设[△CDP]的面积为[S1]，[△CDA]的面积为[S2]，求[S1S2]的最大值。

分析：（1）将点[C]的坐标代入抛物线的表达式求出[m]的值，继而求出抛物线的表达式；（2）过点[A]作[AG]∥[y]轴交[BC]于点[G]，则[G（-2，6）]，设点[Pt，-12t2+t+4]，过点[P]作[PH]∥[y]轴交于[BC]于点[H]，由[PH]∥[AG]，可知[PHAG=PDAD=S1S2=-112]（[t-2]）2[+13]，当[t=2]时，[S1S2]有最大值[13]。

解：（1）将点[C（0，4）]代入[y=-12x2+mx+4m]，得[4m=4]，解得[m=1]，∴抛物线的表达式为[y=-12x2+x+4]。

（2）如图4所示，直线[BC]的表达式为[y=-x+4]，过点[A]作[AG]∥[y]轴交[BC]于点[G]，则[G（-2，6）]，∴[AG=6]，设点[Pt，-12t2+t+4]，过点[P]作[PH]∥[y]轴交于[BC]于点[H]，∴[H（t，-t+4）]，∴[PH=-12t2+t+4+t-4=-12t2+2t]，∵[PH]∥[AG]，∴[PHAG=PDAD]，∴[PDAD=-12t2+2t6=-112t2+13t]，∴[S1S2=-112t2+13t=-112（t-2）2+13]，当[t=2]时，[S1S2]有最大值[13]。

评注：本题的两个三角形[△PCD]与[△ACD]是同高的两个三角形，它们的面积比等于底边之比；然后利用相似三角形对应边成比例，将两条斜线段之比转化为两条竖直线段之比，从而建立二次函数模型。实际上也可以将斜线段之比转化为水平线段之比，再建立二次函数模型。

三、对称轴分平行四边形为定比求字母的值

抛物线的对称轴分平行四边形为定比1∶[m]时，需要分类讨论，即分得的两个图形面积甲∶乙为1∶[m]或[m]∶1，当其中一个图形的面积确定时，另一个图形的面积也就确定了，再根据平行四边形的面积公式可以求得相应线段的长，从而求得相应字母的值。

［例3］在平面直角坐标系中，[O]为坐标原点。已知抛物线[y=-x2+ax+3]经过点（3，0），点[P]在这条抛物线上，其横坐标为[m]。点[Q]的坐标为[（-1，m+1）]。当[P]、[Q]不重合时，以[OQ]和[PQ]为边构造平行四边形[OQPM]。（1）求该抛物线的表达式；（2）当平行四边形[OQPM]为矩形时，求[m]的值；（3）当[QM]与某条坐标轴垂直时，求点[P]的坐标；（4）当抛物线的对称轴分平行四边形[OQPM]的面积为1∶2两部分时，直接写出[m]的值。

分析：（1）由于抛物线经过点（3，0），所以将点（3，0）代入抛物线的表达式中可求得[a]的值；（2）矩形的四个角都是90°，所以当[?OQPM]为矩形时，[∠OQP=90°]，由于两直线互相垂直，[k1·k2=-1]，进而求得[m]的值；（3）[QM]与坐标轴垂直的情况可以分为两类，一类是和[x]轴垂直，一类是和[y]轴垂直，可分类讨论，两类都用到了平行四边形对角线互相平分的性质，先求得中点坐标，再利用横纵坐标分别与中点坐标相等求得点[P]的坐标；（4）根据直线[PQ]的表达式可求得点[E]的坐标，进而求得四边形[QOLK]的面积，当抛物线的对称轴将[?OQPM]的面积分为1∶2两部分时，可以分两种情况讨论，一种是1∶2，一种是2∶1，进而求得[m]的值。

解：（1）已知抛物线[y=-x2+ax+3]经过点（3，0），∴[-9+3a+3=0]，解得[a=2]，∴抛物线的表达式为[y=-x2+2x+3]。

（2）∵[?OQPM]是矩形，∴[OQ⊥PQ]，∴[kOQ·kPQ=-1]，由题可知[P（m，-m2+2m+3）]，[Q（-1，m+1）]，[kOQ=-（m+1）]，[kPQ=-m2+m+2m+1]，∵[kOQ·kPQ=-1]，∴[-（m+1）×-m2+m+2m+1=-1]，解得[m1=1+52]，[m2=1-52]。

（3）当[QM⊥x]轴时，[OP]中点坐标的横坐标与点[Q]的横坐标相等，∵四边形[OQPM]为平行四边形，∴[QM]的中点坐标即为[OP]的中点坐标，∵[P（m，-m2+2m+3）]，[Q]（-1，[m+1]），∴[OP]的中点坐标为[m2，-m2+2m+32]，∴[m2=-1]，解得[m=-2]。当[QM⊥y]轴时，同理可得[OP]中点坐标的纵坐标与点[Q]的纵坐标相等，即[-m2+2m+32=m+1]，解得[m1=1]，[m2=-1]（舍去）。综上，[P1]（-2，-5），[P2]（1，4）。

（4）如图5所示，过点[P]作[PD⊥x]轴，交[OM]于点[D]，∵[P（m，-m2+2m+3）]，[Q（-1，m+1）]，∴直线[PQ]的表达式为[y=（2-m）x+3]，设直线PQ与y轴交于点E，∴[E（0，3）]，设抛物线[y=-x2+2x+3]的对称轴与直线[PQ]交于点[K]，与直线[MO]交于点[L]，∵四边形[EODP]是平行四边形，∴[S△QEO=S△PDM=32]，[S四边形EOLK=3]，∴[S四边形QOLK=92]，∵抛物线的对称轴分平行四边形[OQPM]的面积为1∶2两部分，∴[S四边形QOLK]可以为1份也可以为2份。当[S四边形QOLK]为1份时，[S四边形LKPM=9]，∴[S?KLDP=152=3h]，解得[h=52]，∴[m=1+52=72]；当[S四边形QOLK]为2份时，[S四边形LKPM=94]，∴[S?KLDP=34=3h]，解得[h=14]，∴[m=1+14=54]。综上所述，[m1=72]，[m2=54]。

评注：本题的平行四边形[OQPM]的各边不与分割线即抛物线的对称轴平行，这给解答带来了一定的困难。我们的解决方案是作平行于分割线的平行线，再次分割平行四边形，将平行四边形分成四块，其中[△QEO]与[△PDM]两块的面积易求，另外两块都有一边与对称轴平行，这样就易于求出字母的值，这里体现了化斜为正的数学思想。

四、四边形面积是三角形面积的固定倍数求字母的值

在抛物线所在的平面内，当四边形面积是三角形面积的固定倍数时，通常三角形面积可以计算出来，这样就确定了四边形的面积。若这个四边形的形状是不确定的，且其中三个顶点确定，第四个顶点为抛物线上一动点，则根据四边形的面积可以求得未知字母的值。

［例4］如图6所示，在平面直角坐标系中，抛物线[y=ax2+bx+c]的图象与[x]轴交于[A]、[B]两点（点[A]在点[B]的左边），与[y]轴交于点[C]，点[A]的坐标为（-1，0），抛物线顶点[D]的坐标为（1，-4），直线[BC]与对称轴相交于点[E]。（1）求抛物线的表达式；（2）点[M]为直线[x=1]右方抛物线上的一点（点[M]不与点[B]重合），设点[M]的横坐标为[m]，记[A]、[B]、[C]、[M]四点所构成的四边形面积为[S]，若[S=3S△BCD]，请求出[m]的值。

分析：（1）根据抛物线顶点[D]的坐标为（1，-4），写出抛物线的顶点式，再将A（-1，0）代入表达式，求得a的值，则可得抛物线的表达式；（2）设[M（m，m2-2m-3）]，先求得直线[BC]的表达式为[y=x-3]，再得出点[E]的坐标，然后由[S△BCD=S△CDE+S△BDE]求得[S△BCD]，进而根据[S=3S△BCD]，得出[S]的值，再分类讨论：①当点[M]在[x]轴上方时，[m>3]；②当点[M]在[x]轴下方时，[1

解：（1）∵抛物线顶点[D]的坐标为（1，-4），∴设抛物线的表达式为[y=a（x-1）2-4]，把[A（-1，0）]代入得[a（-1-1）2-4=0]，解得[a=1]，∴[y=（x-1）2-4=x2-2x-3]，∴抛物线的表达式为[y=x2-2x-3]。

（2）设[M（m，m2-2m-3]），∵[y=x2-2x-3]，∴当[x=0]时，[y=-3]，∴[C（0，-3）]；∵[A（-1，0）]，对称轴为直线[x=1]，∴[B（3，0）]，∴直线[BC]的表达式为[y=x-3]，∴当[x=1]时，[y=x-3=-2]，∴[E（1，-2）]，∴[DE=2]，∴[S△BCD=S△CDE+S△BDE=12DE×（xB-xC）=12×2×3=3]，∴[S=3S△BCD=9]。分两种情况：①当点[M]在[x]轴上方时，[m>3]，如图7所示，[S=S△ACB+S△ABM=12AB×OC+12AB×yM=12×4×3+12×4（m2-2m-3）=2m2-4m=9]，解得[m1=2+222]，[m2=2-222]（舍去），∴[m=2+222]；②当点[M]在[x]轴下方时，[1

评注：以点[A]、[C]、[B]、[M]为顶点的四边形可以分为两类，即当点[M]在[x]轴上方时和当点[M]在[x]轴下方时。在表达四边形面积时，又分为两个或三个三角形面积的和，再利用三角形面积公式建立四边形面积关于[m]的二次函数关系式，然后根据四边形面积建立一元二次方程求解。既然建立了关于[m]的二次函数，那么就可以求得四边形面积的最值。

二次函数与图形面积的综合题的求解方法不是唯一的，但在求解过程中方法的选择会影响到解题过程的繁简程度。通过上述四道例题的解析，找到解决此类问题的一般方法，并对多种解法进行取舍，以简化求解过程。

（责任编辑 罗 艳）