初中数学解题中消元法的应用

杜雪芬

【摘要】在初中数学题目中，一般可分为“已知”和“未知”两类信息，当处理一些特殊试题时应设出未知量，列出相应的代数关系式，然后通过恰当的变形减少未知量的数量，最终实现解决试题的目的.“未知量”就是“元”，减少未知量的方法即为消元法.本文主要对初中数学解题中如何应用消元法进行分析和研究，并分享部分代表性解题案例.

【关键词】初中数学；解题技巧；消元法

消元法作为一种十分常用的数学思想，属于数学解题中的常规方法之一.学生最先接触消元法时是在学习二元一次方程组这一知识时，当方程组中出现有两个未知量时，就要想方设法将“二元”消去“一元”，转变成一元一次方程，这就是消元法的思维来源.在初中数学解题教学中，教师应当指引学生巧妙应用消元法来解题，提高学生的解题水平及效率.

1 同量表示，约简消元

在初中数学解题训练中，当题目中的等量关系数量比“元”的数量少时，通常难以直接把所有未知量都求出来，此时教师应提示学生考虑是否有必要将所有未知量全部求出来，可选择一个适当的未知量视为常数，而其他未知量则使用该“常数”表示，让学生顺利解答试题［1］.

例1 已知x－y－3z=0，2x+y－3z=0，请求出x+yy－3z的值.

分析

在这道题目中有三个未知量，但是已知等式只有两个，显然无法把所有未知量的值都求出来，所以可选择一个适当的未知量当作常数来对待，利用该未知量来表示其他两个未知量，由此把“三元”消成“一元”.

详解

因为x－y－3z=0，

2x+y－3z=0，

将两个等式整理变形后可以得到x－y=3z，

2x+y=3z，

把两者相加能够得到3x=6z，

即为x=2z，

则y=－z，

故x+yy－3z=2z+（－z）－z－3z=z－4z=－14，

所以x+yy－3z的值是－14.

2 多设少求，逐步消元

在某些初中数学试题中，各个量之间都有着一定的依赖关系，利用一个量就能够求出其他所有量，不过解题时又无需将全部量都求出来，这时可应用多设少求、逐步消元的解题方法［2］.

例2 一家商店正在销售甲、乙两种商品，成本都是14元，售价分别为20元与18元，已知这两种商品某天的销售额是1120元，总利润是280元.

（1）这天甲、乙两种商品分别卖出多少个？

（2）该商店为提升利润，计划将甲商品的售价降低，乙商品的售价升高，在销售过程中发现，甲商品每降价0.5元能够多卖出1份，乙商品每提价0.5元则少卖出1份，假如它们每天的销售总量是固定不变的，则最大总利润为多少钱？

分析

在（1）问中可以轻松求出甲、乙两种商品的具体销售量，在第（2）问中涉及的未知量较多，包括甲商品的降价和销售量，乙商品的提价和销售量，这4个未知量最多只存在三种关系，因为售价出现变化，两种商品的销售数量与利润随着发生变化，总利润也在变化，故可设两个未知量，采用消元法把“二元”转变成“一元”.

详解

（1）设这天甲、乙两种商品分别卖出x，y个，

根据题意可得20x+18y=1120x+y=280，

解之得x=20y=40，

所以这天甲、乙两种商品分别卖出20个与40个.

（2）设甲商品降价a元，乙商品提价b元，总利润是W元，则甲商品的销售量是20+2a，乙商品的销售量是40－2b，

根据（1）可知甲、乙两种商品一天共销售20+40=60个，

则20+2a+40－2b=60，

由此得到a=b，

所以W=（20－a－14）（20+2a）+（18+a－14）（40－2a），

化简整理以后可得W=－4（a－3）2+316，

因为－4<0，

所以当a=3时，W最大为316元，

所以说甲、乙两种商品一天的最大总利润为316元.

3 设而不求，整体代入

设而不求、整体代入，其实就是用一些未知数表示题目中的现象，且将部分未知量之间的关系视为一个整体，通过代数变换的方式将未知量消去，达到消元的目的，问题也就迎刃而解，从而获得目标量的定值［3］.

例3 在图1中，有一个正方形ABCD，边长是1，被两条同边平行的线段EF，GH分割为4个小矩形，其中EF，GH相交于点P，△GBF的周长是1，那么矩形EPHD的面积是多大？

分析

在本题中要求的是矩形EPHD的面积，需考虑到该矩形两个邻边的长度，由于G，F两点是运动的，故DE，DF的长度也在发生变化，这表明它们的长度难以求出来，所以可设出BF，GB的长度，用未知数对矩形的面积进行表示，然后结合代数表示的方式通过整体代入消去未知量，最终顺利求得结果.

详解

设BF=x，GB=y，

则FC=1－x，AG=1－y，

因为△GBF的周长是1，

则BF+FG+GF=1，

即为x+y+x2+y2=1，

整理以后能够得到xy－x－y=－12，

则S矩形EPHD=PH×EP=FC×AG=（1－x）（1－y）=xy－x－y+1=－12+1=12，

所以矩形EPHD的面积是12.

4 结语

总的来说，在初中数学解题教学活动中，要想更好地应用消元法，教师在平时教学中不仅需大力渗透消元法这一数学思想，还要帮助学生树立较强的消元意识，把消元法当作一种常规方法根植于大脑，使学生学会识别运用消元法的条件，就是当未知量较多时才应用，并让学生能够把消元法同其他解题方法结合起来综合使用，最终高效率地解答初中数学试题.

参考文献：

［1］宋廷亮.例谈消元法在初中数学解题中的应用［J］.数学之友，2023，37（07）：77-78+82.

［2］许小玲.例谈初中数学解题中的“消元”策略［J］.好家长，2020（26）：25-27.

［3］方逵香.例谈消元法在初中数学解题中的应用［J］.新课程（下），2018（07）：85.