三角函数中的最值类型探析

张亚明

求三角函数的最值涉及范围广、灵活性强，是三角函数基础知识的综合应用，也是学习中的难点之一，三角函数的最值问题经常出现在考题中.本文中对三角函数最值问题的常见类型进行探析.

1 形如y=asin x+b型

本类型的特点是含有正弦或余弦函数，并且是一次式，函数种类仅有一种.解决此类问题的关键是把正、余弦函数转化为一次函数的形式或利用三角函数的有界性.

例1  已知y=asin x+b的最大值为3，最小值为－１，求a，b的值.

解：当a＞0时，由a+b=3，-a+b=-1，得a=2，b=1.

当a＜0时，由-a+b=3，a+b=-1，得a=-2，b=1.

所以，a=±2，b=1.

评注：设t=sinx，原题化为一次函数y=at+b在闭区间t∈［-1，1］上的最值问题.本题的解法较多，除了代数函数最值的求法外，常见的还有数形结合法，转化为斜率问题和三角函数的有界性求解，其中利用三角函数的有界性求解是最基本的方法.

2 化成y=Asin（ωx+φ）的形式

（1）y=asin ωx+bcos ωx+c型

本类型的特点是含有正弦与余弦函数且是一次式.解决的关键是把所求函数转化为只有一种三角函数的形式.一般地，可引进辅助角

φtan φ=ba，化为y=a2+b2sin（ωx+φ）+c型，再利用正弦、余弦的有界性解之.

例2  已知-π2≤x≤π2，求函数f（x）=5sin x+53cos x的最值.

解：

f（x）=5sin x+53cos x=10sinx+π3.设t=x+π3，则-π6≤t≤5π6.

由y=sin t，t∈-π6，5π6

的图象可知，当t=π2时，sin t取得最大值1，故f（x）的最大值为10.

评注：求解本题的关键是借助辅助角公式把函数f（x）转化为只有一种三角函数的形式，结合三角函数有界性求解.如果函数是条件函数，则常常借助三角函数的图象来解题.

（2）y=asin2x+bsin xcos x+cos2x型

本类型的特点是含有sin x，cos x的二次式，处理方式是可先降次，然后整理化为（1）中的类型，再求y=Asin 2x+Bcos 2x+C型函数的最值.

例3  已知函数f（x）=2cos2x+3sin 2x+m（m∈R）.若x∈

0，π2，且f（x）的最小值是2，求m的值.

解：由已知得f（x）=1+cos 2x+3sin 2x+m=2sin（2x+π6）+m+1.当x∈0，π2时，2x+π6∈π6，7π6，所以当2x+π6=7π6时，f（x）取得最小值，则2×-12+m+1=2，解得m=2.

点评：解决这类题目的思路是把函数化归为f（x）=Asin（ωx+φ）+k的形式，一般而言，

f（x）max=|A|+k，f（x）min=-|A|+k，但若附加了x的取值范围，最好的方法是通过图象加以解决.

（3）形如y=a+bsin xc+dcos x型

分离出sin x及cos x，化为m=Asin x+Bcos x型，利用三角函数的有界性去处理；也可以用数形结合法（常用直线斜率的几何意义）求解.

例4  求函数y=1+sin x3+cos x的最值.

解：函数解析式可整理为sin x-ycos x=3y-1，所以

y2+1sin（x+φ）=3y-1，其中tan φ=-y.因为|sin（x+φ）|≤1，所以y2+1≥|3y-1|，解得0≤y≤34.

因此，所求函数的最大值为34，最小值为0.

评注：求形如y=a+bsin xc+dcos x（a，b，c，d∈R）的最值通常利用辅助角公式asin x+bcos x=a2+b2＼5sin（x+φ）及正（余）弦函数的有界性，转化为以y为主元的不等式，是解决这类问题的最佳方法.虽然本题可以使用万能公式，也可以利用圆的参数方程和斜率公式去求解，但都不如上述解法简单易行，有兴趣的同学不妨试一试其他解法.

3 形如y=csin x+dasin x+b型

例5  求函数f（x）=3sin x-1sin x+2的最大值与最小值.

解：因为f（x）=3 sin x-1sin x+2=3-7sin x+2，所以当sin x=1时，f（x）max=23，

当sin x=-1时，f（x）min=-4.

点评：除上述分离常数法外，形如y=asin x+bcsin x+d的函数还可反解出sin x，利用正弦函数的有界性求最值.

4 形如y=asin2x+bsin x+c型

本类型的特点是含有sin x或cos x的二次式，处理方式是降幂，再换元处理.设t=sin x，先化为二次函数y=at2+bt+c形式，再求其在闭区间t∈［-1，1］上的最值.

例6  （2017全国新课标Ⅱ卷理）函数f（x）=sin2x+3cos x-34x∈0，π2的最大值是.

解：f（x）=1-cos2x+3cos x-34=-cos2 x+3cos x+14=-cos x-322+1.

由x∈0，π2，可得cos x∈［0，1］，所以当cos x=32时，函数f（x）取得最大值1.

点评：利用诱导公式、降幂公式、二倍角公式，把不同名的三角函数转化为同名的关于

y=asin2x+bsin x+c，或y=acos2x+bcos x+c，或y=atan2x+btan x+c（a≠0）的二次函数最值问题.其中一定要注意x的取值范围.

5 形如y=sin x+asin x型

例7  求y=sin x+2sin x（0＜x＜π）的最小值.

解：设u=sin x，则y=u+2u（0＜u≤1）.易知函数y=u+2u在区间（0，1］上是减函数.

故当u=1时，ymin=1+21=3.

点评：若由sin x+2sin x≥2sin x＼52sin x=22，可得最小值22是错误的，这是因为当等号成立时，sin x=2sin x，即sin x=2＞1是不可能的.利用基本不等式求最值即化为y=ax+bx（ab＞0）形式，主要抓住如何利用同角三角函数的关系sin2x+cos2x=1，tan x＼5cot x=1等，以及降幂公式、二倍角公式，将变量化为定值.

6 形如y=asin xcos x+b（sin x±cos x）+c型

含有sin x+cos x，sin x-cos x，sin xcos x的函数式，设t=sin x±cos x，将问题转化为二次函数在闭区间t∈［-2，2］上的最值问题.

例8  求函数y=4sin xcos x+3（sin x+cos x）+3的最值.

解：令sin x+cos x=t，则

sin xcos x=t2-12，t∈［-2，2］.

原函数可化为y=2t2+3t+1，t∈［-2，2］.

故当t=-34时，ymin=-18；当t=2时，ymax=5+32.

点评：sin x+cos x，sin x-cos x，sin xcos x这三者之间有着相互制约、不可分割的密切联系.其中sin xcos x是纽带，三者之中知其一，可求其二.令t=sin x-cos x换元后，依题意可灵活使用配方法、重要不等式、函数的单调性等方法来求函数的最值.

7 利用对偶式巧求最值

例9  已知sin x+sin y=1，求cos x+cos y的最大值.

解：令t=cos x+cos y，于是可得（sin x+sin y）2+（cos x+cos y）2=1+t2.整理得

2+2cos（x-y）=1+t2，所以-2≤t2-1≤2.又t2≥0，则0≤t2≤3，即-3≤t≤3，故所求最大值为3.

点评：此题要用整体代换法求解.形如sin 2A+cos 2B+asin Acos B的式子都可以用对偶式法求最值.

8 形如y=sin xcos 2x型

本类型的特点是函数式为关于sin x，cos x的三次式（cos 2x是cos x的二次式），几乎所有三角函数中类似的三次式的最值问题都用均值不等式或导数求解.利用均值不等式时，需要注意是否符合应用的条件，最主要的是等号能否取得.

例10  若x∈（0，π），求函数y=（1+cos x）·sinx2的最大值.

解：因为y=2cos2x2·sin x2>0，所以可得y2=4cos 4x2sin2x2=2cos2x2cos2x2·2sin2x2≤2＼5

cos2x2+cos2x2+2sin2x23

3=1627，故0

点评：本题的角和函数都很难统一，并且还会出现次数较高的情况，关键是抓住cos2x+sin2x＝1.