一道椭圆中直线斜率问题的多角度探究

田学敏

课题信息：青岛市教育学会2024年度博硕项目课题“基于波利亚解题理论的高中数学解题教学的实践研究”，课题批准

号为2024BS67.

摘要：对于求直线斜率问题的圆锥曲线试题很多学生不会处理，往往没有章法和策略，文章介绍了

设线解点、三点共线的坐标表示和定比点差法三种求直线斜率问题的策略，

还给出了适合不同层次学生的不同解题方法，为各类学生备考提供参考.

关键词：多角度；直线斜率；圆锥曲线

对于求直线斜率问题的圆锥曲线试题很多学生不会处理，往往没有章法和策略，笔者利用波利亚解题思想对下面这道求直线斜率问题的圆锥曲线试题进行了多角度探究，给出了三种解决问题的方法.

1 试题呈现

（2023届南昌市一模理科数学第21题）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b≥1）过A（-4，0），

A1（0，1），A21，32，A3-1，32四个点中的三个点.

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点B-52，32的直线与椭圆E交于P，Q两点，直线AP，AQ分别交椭圆E于M，N两点，求直线MN的斜率.

2 试题探究

解：（1）椭圆E的方程为x24+y2=1.（过程略）

（2）解法1：设线解点.

设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4），直线PQ的方程为x=my+t.

由直线PQ过点-52，32，得3m+2t=-5.

设直线AP的方程为x=x1+4y1y-4，代入椭圆E的方程，得

x1+4y12+4y2-8（x1+4）y1y+12=0.

所以y1y3=12x1+4y12+4=3y212x1+5.

同理y2y4=3y222x2+5.

故kMA=y3-y4x3-x4=3y12x1+5-3y22x2+5x1+4y1y3-x2+4y2y4=-13×（2t+5）（y1-y2）m（y1-y2）=1，即直线MN的斜率为1.

评注：利用直线与曲线方程联立去解点的坐标.对于不重合的两点A（x1，y1），B（x2，y2），则kAB=y2-y1x2-x1.所以我们在解决与斜率有关的问题时，第一个最朴素的想法就是解点，然后利用斜率公式解决或者联立两直线方程解出点的坐标.

解法2：三点共线的坐标表示.

设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4），因为A（-4，0），P（x1，y1），M（x3，y3）三点共线，则直线PM的方程为y=y3-y1x3-x1（x+4），将P（x1，y1）代入直线方程，整理可得

x3y1-x1y3=-4（y1-y3）.①

由于P（x1，y1），M（x3，y3）均在椭圆E上，代入E的方程可得x214+y21=1，x234+y23=1，所以x21y234+y21y23=y23，x23y214+y21y23=y21.

两式相减，可得（x3y1-x1y3）（x3y1+x1y3）4=y21-y23，则

x3y1+x1y3=4（y21-y23）x3y1-x1y3=-（y1+y3）.②

由①+②，可以得到2x3y1=3y3-5y1，则y1=3y32x3+5.

由①-②，得2x1y3=3y1-5y3=9y32x3+5-5y3，则x1=-5x3-82x3+5.

所以，直线PB的斜率为

y1-32x1+52=3y32x3+5-32-5x3-82x3+5+52=2y3-2x3-53.

同理，直线QB的斜率为2y4-2x4-53.而kPB=kQB，所以2y3-2x3-53=2y4-2x4-53，于是y3-x3=y4-x4.那么kMN=y3-y4x3-x4=1.

评注：若A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上不同的两点，且直线AB过点P（m，0），则由A，P，B三点共线，可得y2x2-m=y1x1-m，整理可得

x1y2-x2y1=m（y2-y1），根据此式出现了轮换结构的特点，下面构造x2y1-x1y2的对偶式x2y1+x1y2，从而得到x1y2+x2y1=a2m（y2+y1）.进一步联立消元解决问题.

解法3：定比点差法.

设PA=λAM，QA=μAN，则

xA=xP+λxM1+λ=-4，yA=yP+λyM1+λ=0，xA=xQ+μxN1+μ=-4，yA=yQ+μyN1+μ=0.

所以，有

xP+λxM=-4（1+λ），yP+λyM=0，xQ+μxN=-4（1+μ），yQ+μyN=0.

因为点P，M均在椭圆x2+4y2=4上，所以

x2M+4y2M=4，x2P+4y2P=4.③④

由③·λ2-④，得λ2x2M-x2P=4（λ2-1），

即

（λxM-xP）（λxM+xP）=4（λ-1）（λ+1）.

又xP+λxM=-4（1+λ），所以

λxM-xP=1-λ.

所以xP=-5-3λ2，xM=-5λ-32λ.

同理，可得xQ=-5-3μ2，xN=-5μ-32μ.

因为P，Q，B三点共线，所以yP-32xP+52=yQ-32xQ+52.

将xP=-5-3λ2，xQ=-5-3μ2

代入上式化简，可得-μyP+λyQ=-32（μ-λ）.

故MN的斜率kMN=yM-yNxM-xN=-yPλ+yQμ321μ-1λ=-32（μ-λ）32（λ-μ）=1.

评注：椭圆上的定比点差形式如下.设A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上，且点P的坐标（x0，y0）满足AP=λPB（λ≠-1），则有b2x21+a2y21=a2b2，b2x22+a2y22=a2b2，由上述式子可得b2（x1-λx2）＼5x1+λx21+λ+a2（y1-λy2）y1+λy21+λ=（1-λ）a2b2，由定比点差x1+λx21+λ=x0，y1+λy21+λ=y0，联立消元后即可用P（x0，y0）与定比λ表示A（x1，y1），B（x2，y2）.

3 方法应用

（2018年北京卷文科第20题）已知椭圆M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为63，焦距为22.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.

（1）求椭圆M的方程；

（2）若k=1，求|AB|的最大值；

（3）设P（-2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C，D和点Q-74，14共线，求k.

根据前面讲的三种求直线斜率的方法，可以解决本题的第（3）问.

文中讲的解法1的设线解点适合大部分学生采用，解法2的三点共线的坐标表示适合走强基计划的学生采用，解法3的定比点差法适合走数学竞赛的学生采用，拓宽自己的知识面.当然，不管采用哪种方法，选择最适合自己的方法快速解决问题才是最主要的.