数列探索性问题的分析与探究

张智

摘要：数列是高考数学的必考知识点，其中数列的探索性问题是数列知识的一个重要方面，它涉及到数列的性质、规律和特殊性的探索和研究，题目难度通常较大，解题过程较为复杂，对学生的综合分析能力和运算能力要求高.本文中对数列的探索性问题进行探究，并给出了具体案例的详细分析，有利于帮助学生对数列的探索性问题有更深刻的认识，在遇到此类问题时能够细致作答.

关键词：数列；探索性问题；例析

数列中的探索性问题主要有两类：结论探索性问题和存在探索性问题.在解答探索性问

题时，学生需要不断地质疑和思考，积极寻找解决问题的方法和途径，不仅要求他们对数

列知识有深刻的理解，还需要他们善于观察、比较、剖析和归纳，勇于做出猜想，总

结规律，并进行证明验证.解答虽然有一定的难度，但在解答问题的过程中，可以培养学

生独立思考和解决问题的能力，使他们能更好地应对学习中的挑战和困难，取得更好的学

习效果［1-2］.

1 存在探索性问题

关于数列的存在探索性问题，其最明显的特点是要求证明在某些特定条件下，与数列通项、首项、或前n项和有关的的一些结论是否成立或一些参数是否存在.解决这类问题的主要思路是：首先假设问题中所要求的结论成立或者参数存在，然后进行推理计算，若经过推理得到肯定的结论，则假设成立，问题得证，若经过推理得到否定的结论，则假设不成立，问题矛盾.下面以一道实例进行讲解［3］.

例1  现有数列{an}和数列{bn}，已知a1=1，an+an+1=2n+1（n∈N*），bn=1anan+1，设Sn为数列{bn}的前n项和.

（1）求{an}的通项公式；

（2）是否存在正整数m，k（其中1

思路分析：（1）由an+an+1=2n+1，可得an+1+an+2=2n+3，两式相减得an+2-an=2，可知数列{an}的奇数项和偶数项均成等差数列，分别求出奇数项和偶数项的通项公式，然后合并便可得到{an}的通项公式；（2）根据题干条件可得bn=1n-1n+1，利用裂项相消法求出Sn的表达式，先假设Sk=4S2m成立，根据1

解：（1）由a1=1，an+an+1=2n+1，

得a2=3-a1=2，

再由

an+an+1=2n+1，

①

可以得到

an+1+an+2=2n+3.

②

①-②，得an+2-an=2.

所以数列{an}的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列.

当n=2k（k∈N*）时，

an=a2+2（k-1）=2k=n.

当n=2k-1（k∈N*）时，

an=a1+2（k-1）=2k-1=n.

所以an=n，n∈N*.

（2）根据（1），可得bn=1n（n+1）=1n-1n+1，

所以

Sn=b1+b2+……+bn=1-12+12-13+……+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.

若Sk=4S2m，则kk+1=4m2（m+1）2，即

1+1k=（m+1）24m2.

所以1k=-3m2+2m+14m2.

又因为1

故0<-3m2+2m+14m2<1m<1.

整理，得3m2-2m-1<0，3m2+2m-1>0，m>1.

解得131，无解.

所以不存在满足题意的m，k.

2 结论探索性问题

数列的结论探索性问题最明显的特点是题目中给出的条件是明确的，需要探求结论或证明某个结论是否正确.解决这类问题，通常采用归纳总结的方法，其基本思路是先探索结论，然后再对结论进行论证.在探索结论的过程中，先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断等手段进行推理猜测，归纳出相应的结论，然后从特殊到一般，对一般的情形进行证明即可［4］.

例2  已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=-94，4Sn+1=3Sn-9（n∈N*），有数列{bn}满足3bn+（n-4）an=0（n∈N*），设数列{bn}的前n项和为Tn.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若对任意n∈N*，都有Tn≤λbn恒成立，求实数λ的取值范围.

思路分析：（1）由4Sn+1=3Sn-9（n∈N*）和a1=-94可得到a1与a2之间的关系，进而得到数列{an}是等比数列，然后求其通项公式；（2）根据题意得bn=（n-4）×34n，易知数列{bn}是由等差数列{n-4}和等比数列34n相乘构成，因此可直接采用错位相减法求出Tn，然后将Tn代入Tn≤λbn，即可求得λ的取值范围.使用错位相减法时，要认真细致，不可错项、漏项.

解：（1）因为4Sn+1=3Sn-9，所以当n≥2时有4Sn=3Sn-1-9，则4an+1=3an（n≥2）.

又n=1时，4（a1+a2）=3a1-9，则a1=-94，可得a2=-2716，

所以a2=34a1.

所以{an}是以-94为首项，34为公比的等比数列.

因此an=-3×34n.

（2）由（1）得bn=（n-4）×34n，则

Tn=（-3）×34+（-2）×342+（-1）×343+……+（n-4）×34n.③

两边同乘34，得

34Tn=（-3）×342+（-2）×343+……+（n-4）×34n+1.④

③—④，得

14Tn=（-3）×34+342+343+……+34n-（n-4）×34n+1.

所以Tn=-4n×34n+1.

因为对任意n∈N*，都有Tn≤λbn恒成立，所以

-4n×34n+1≤λ（n-4）×34n，

亦即（λ+3）n-4λ≥0恒成立.

记f（n）=（λ+3）n-4λ（n∈N*），则

λ+3≥0，f（1）≥0.

解得-3≤λ≤1.

故入的取值范围为［-3，1］.

点评：解决数列的结论探索性问题，可以依据以下思路进行分析.第一步联想知识，根据题设条件，联想相应的知识要点；第二步筛选方法，根据题目要求，选择相应的求解通法；第三步构建思路，构思求解问题的思路和步骤；第四步规范推导，严格按逻辑关系进行推导、演算、论证；第五步反思回顾，解答完题目要回过头来查看关键点、易错点及解题是否规范，看解答过程是否有不当之处［5］.

数列的存在探索性问题是一种需要逻辑推理和假设验证的重要数学问题，考查学生的自主思考和逻辑推理能力.在高中数学的学习中，掌握解决这类问题的基本策略和方法，对学生逻辑推理能力的培养与训练至关重要.

参考文献：

［1］刘志林.探究数列中三类探索性问题的求解策略［J］.福建

中学数学，2023（10）：34-37.

［2］付素玲.直击数列中的探索性问题［J］.高中数理化，2024

（7）：24-25.

［3］姜兴荣.数列中探索性问题的类型与破解策略［J］.中学数学研究，2023（2）：50-52.

［4］黄保球.数列探索性问题分类和对应解题思路分析［J］.高中数理化，2022（15）：66-67.

［5］林婉瑜.点击数列中的几类探索性问题［J］.福建中学数学，2022（9）：42-44.