构建探究式学习模式的初中数学教学

张兴良

探究式学习是一种基于学生主动参与、探索的学习方式，它强调学生通过探索、发现并解决问题来构建知识。在数学教学中，探究式学习可以激发学生的学习兴趣和动力，提高他们的数学思维能力和问题解决能力。本文以“等腰三角形的性质”教学为例，来探讨如何构建探究式学习模式。

一、教学目标

1.了解作为证明基础的几条公理，掌握证明的基本步骤和书写格式。

2.能够用综合方法证明等腰三角形的有关性质定理。

3.经历“探索—发现—猜想—证明”的思想过程，了解证明的意义。

4.形成解决问题的一些基本策略，学会证明的过程，培养证明的应用意识。

5.学会从操作中得出结论，再通过证明，论证得出的结论。

6.形成运用数学思维思考实际问题的习惯。

二、教学重点、难点

重点：经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，证明等腰三角形的有关性质，并能运用性质定理去解决相关的问题。

难点：在证明的过程中发现数学证明的要求及步骤，体会证明的思想。

三、学法建议

学生应重点注意在证明思路和方法上的突破，弄清辅助线的添加及构造；懂得通过图形的对折、角度的测量、图形的拼摆等方法探索图形性质并进行证明的思路的重要性。等腰三角形的性质及结论的证明方法和途径都不是唯一的；辅助线的添加方法也是多样的。因此，学生要注意探索证明的不同方法，提倡证明方法的多样性；要主动参与探索活动，多和同学交流。新课标要求学生在具体情境中学会探索、发现证明的思路，在交流中产生不同的证明方法。学生应采取自主探索、合作交流的学习方式；能联系生活中的实物，如身边的建筑物、自然界中的图形等学习角平分线、等腰三角形的概念和性质。

四、教学过程

（一）提出问题，导入新课

师：在七年级下学期三角形一章的学习中，我们学习了有关三角形全等的几条公理、定理，同学们还记得吗？

生1：SSS、SAS、ASA、AAS，还有全等三角形的对应边相等、对应角相等。

（设计意图：通过复习前面所学内容，引导学生回忆证明的要求及步骤，以更好的状态和充足的准备进入新内容的学习。）

（二）应用公理，探求新知

师：在前面的学习中，我们知道SSS、SAS、ASA是公理，不需要证明，是证明其他定理的基本依据，而AAS不是公理，需要证明，同学们能运用公理证明AAS吗？

学生思考、小组合作交流，请一位同学展示证明过程。

教学分享：

小组合作是探究式学习的重要形式之一。教师可以将学生分成若干小组，鼓励他们交流和合作共同解决问题。通过小组合作，学生共同探索并学习新知识。

如图1，已知两个三角形对应的两个角相等，且其中一组等角的对边相等，那么这两个三角形全等（AAS）。

证明过程：

已知：∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF

求证：△ABC≌△DEF

证明：∵∠A+∠B+∠C=180°

∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）

∴∠C=180°-（∠A+∠B），∠F=180°-（∠D+∠E）

又∵∠A=∠D，∠B=∠E（已知）

∴∠C＝∠F

又∵BC=EF（已知）

∴△ABC≌△DEF（ASA）

（设计意图：设置具体问题，使学生在解决具体问题的过程中学会应用已有知识进行证明，既激发了学生的求知欲，又训练了学生运用数学的能力；通过让学生交流讨论并动手证明，以此来熟悉证明的基本要求和步骤，为后面的推理证明做准备。）

（三）问题引领，归纳新知

师：等腰三角形除了有两条边相等外，它还有哪些性质呢？

生2：将等腰三角形沿着顶角左右对折后，两边能完全重合，说明等腰三角形的两个底角相等。

生3：等腰三角形的两个底角目测是相等的，所以我用量角器进行了测量，结果表明这两个角确实相等。

师：同学们通过对折、用量角器测量等方法得出了等腰三角形的两个底角相等，但结论仅仅靠验证还不够。

教学分享：在探究式学习过程中，为了最大限度地挖掘学生自身的潜力，教师可以给学生提供一些学习资源和参考资料，引导他们进行学习和思考。所以，当学生使用对折和量角的方法得出等腰三角形的两个底角相等时，教师要及时引导学生，结论仅靠验证还不够，需要进一步进行逻辑证明。

已知：如图2，在三角形ABC中，AB=AC

求证：∠B=∠C。

生4：我们前面所学的公理和定理中，SSS、SAS、ASA、AAS，都是在两个三角形中进行对比得出的结论：两个三角形的三条边相等；两个三角形的两边和它们的夹角对应相等；两个三角形对应的两边及夹角相等；两个三角形的两角及其中一角对应的边相等。而在图2中，只有一个三角形ABC，无法使用上面的公理或定理，结合我们刚才动手操作时将三角形沿顶角对折从而分成两个全等的三角形，我们可以在进行推理证明时，取线段BC的中点D，然后连接AD，这样就可以得到两个全等的三角形ABD和ACD，从而证明等腰三角形的两个底角相等。以下是具体证明步骤：

证明：取BC的中点D，连接AD

∵AB=AC，BD=CD，AD=AD

∴△ABD≌△ACD（SSS）

∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）

教师：这位同学通过作线段BC中线的方法得到两个全等三角形，进而证明等腰三角形的两个底角相等。除此之外，同学们还有什么别的方法可以证明∠B=∠C。

教学分享：

教师可以根据教学内容和学生的实际情况设计一些启发性问题，激发学生的思考和兴趣。这些问题应具有一定的挑战性，能够引导学生进行自主探索和思考。

如，在证明等腰三角形的两个底角相等时，第一位同学用添加中线的方法进行论证后，教师不是一鼓作气把剩余内容全部讲授完，而是及时提问其他同学还有什么更好的方法，引导学生用前面所学的公理和定理自行推理证明，并进行展示，使学生能够主动参与到学习过程中。

生5：我们可以作角A的平分线并与线段BC相交于D。连接AD，这样在三角形ABD和三角形ACD中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，根据公理SAS可知三角形ABD和三角形ACD全等。所以，可以得出∠B=∠C。

证明：作角A的平分线并与线段BC相交于D，

∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD（SAS），

∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）。

生6：可以通过顶点A作底边BC的垂线AD，在直角三角形ADB和直角三角形ADC中，AB=AC，AD=AD，根据直角三角形中一条斜边和一条直角边都对应相等，这两个三角形就是全等三角形的定理可知，直角三角形ABD和直角三角形ACD全等，所以可得出：∠B=∠C。

证明：通过顶点A作底边BC的垂线AD，

∵在直角三角形中AB=AC，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD（直角三角形中一条斜边和一条直角边都对应相等，这两个三角形就是全等三角形），∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）。

师：同学们刚才通过作顶角的平分线、作底边的中线、底边的高线，用三种不同的方法证明了两个三角形全等。由此，我们知道了所作的辅线，它既是顶角的平分线，又是底边的中线和高线。也就是说，我们在用不同的方法在证明等腰三角形两个底角相等的同时，又得出了等腰三角形的另一个性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合，简称“三线合一”。

（设计意图：让学生通过多种方法解决同一个问题，提高他们灵活运用知识的能力，同时为得出等腰三角形的另一性质提供铺垫；让学生通过猜想、实验验证、逻辑证明、总结归纳，使他们对所学知识产生深刻印象；让学生在运用不同方法进行推理证明的过程中，学会由问题入手，运用所学知识，逐步倒推去解决问题，培养学生的逻辑推断能力。）

（四）思维拓展，实际应用

师：刚才我们学习了等腰三角形的性质，现在请同学们思考一下，在实际生活中，有哪些地方利用了等腰三角形的这些性质呢？

生7：建筑工人在建房时，为了确定房梁是否水平，常用的方法是把一块等腰三角板放在梁上，从顶角顶点系一重物，如果系重物的绳刚好经过三角板底边的中点，就认为房梁是水平的。

师：能说一下理由吗？

生7：首先，使用的工具是等腰三角板，要想知道是否经过中点，看三角板的刻度就知道了。当重物经过了等腰三角板的中点，那悬挂的线就是底边的中线。根据三线合一，它也是底边的垂线，而悬挂的线是铅垂方向（由物理知识可知，在悬挂的线上挂上重物后，重力的方向是竖直向下的，跟它垂直的房梁就是水平的），所以房梁就是水平的。

生8：江河上的斜拉索桥就是等腰三角形的。只有路两边的拉索在长度相等的情况下，才能保证两边受力相等，保证桥的受力平衡。

师：同学们的分享很精彩，说明大家不仅掌握了今天所讲的知识，还能在平时的生活里用心观察，能够运用所学知识去思考问题。希望以后大家能发现更多蕴含在生活中的数学知识，做到学以致用，有所创新。

教学分享：探究式学习强调将数学知识应用到真实的情境和问题中。因此，教师可以设计一些真实的数学问题，让学生通过探索和解决问题理解数学概念和原理，这样既能提高学生的学习兴趣，也能引导学生将所学知识运用到现实生活中。

五、教学总结

学生可以通过写日记、小结等方式总结自己的学习经验和收获。教师可以提供及时的反馈和评价，帮助学生发现不足并改进学习方法。为了评估探究式学习模式的实施效果，教师可以采用多种评估方法，如观察学生的学习情况、听取学生的意见和建议、进行作业和考试等。同时，教师还可以根据学生在探究式学习过程中的表现和成长评估学生的思维能力和问题解决能力。

探究式学习模式是一种有效的学习方式，它可以激发学生的学习兴趣和动力，提高学生的数学思维能力和问题解决能力。在探究式学习的实施过程中，教师应注重学生的主动性，真实情境的创建、问题驱动、合作学习的运用，反思和评价的作用，构建探究式学习模式，并不断改进和完善这一教学模式来提高学生的学习效果和教学质量。

（作者单位：甘肃省榆中县教学研究室）

编辑：蔚慧敏